目 录
一、浅谈对问题解决与数学建模的认识 . .................................................................................................... 5
1.1从现实现象到数学模型 . ....................................................................................................................
1.2数学建模的相关基本概念 . ............................................................................ 错误！未定义书签。
1.3 数学建模的意义 . ........................................................................................................................... 10
1.4 数学建模的方法步骤 . ................................................................................................................... 10
二、数学建模应用于中学数学问题解决教学的实践 . .............................................................................. 11
2.1教学中建立数学模型的过程 . ........................................................................................................ 12
2.2教学中具体的建模分析方法 . ........................................................................................................ 12
2.3掌握常见数学应用题的基本数学模型 . ........................................................................................ 12
2.4数学建模教学活动设计的体会 . .................................................................................................... 12
三、模型案例.................................................................................................................................................16
2 一、 浅谈对问题解决与数学建模的认识
1. 从现实现象到数学模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。在现实生活中，我们会见到许许多多的模型，如：玩具、照片、飞机、火箭模型等这类实物模型；水箱中的舰艇、风洞中的飞机等这类物理模型；地图、电路图、分子结构图等这类符号模型。
数学模型的分类有很多不同的分法，如按应用领域分，有人口、交通、经济、生态等；按数学方法分，有初等数学、微分方程、规划、统计等；按表现特性分，有确定和随机、静态和动态、离散和连续、线性和非线性等等；按建模目的分，有描述、优化、预报、决策等。
数学建模就是建立数学模型的全过程：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。下图为数学建模全过程：
其中，表述是指根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题；求解是指选择适当的数学方法求得数学模型的解答；解释是指将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象；验证是指用现实对象的信息检验得到的解答。全过程就是一个从实践到理论，在从理论回到实践的过程。
2．数学建模的相关基本概念 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象有关信息、作出合理、简化的假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型(Mathematical Model) 的全过程就称为数学建模(Mathematical Modeling)。即数学建模是一个由“模型准备→模型假设→模型构成→模型求解→模型分析→模型检验→模型应用”的过程。
3
模型准备：即了解问题的时机背景，明确建模的目的；搜寻有关的信息，掌握对象的特征。
模型假设：针对问题的特点和建模的目的，做出合理简化的假设。
模型构成：用数学的语言、符号来描述问题。（使用类比发等）。
模型求解：应用各种数学方法、软件、计算机技术等。
模型分析：例如:对结果的误差分析或者统计分析，对模型对数据的稳定性分析等。 模型检验：用现实对象的信息检验得到的结果。
模型应用：因问题的性质和建模的目的而异。
而数学建模的具体应用可用下图直观的表达出来：
3．数学建模的重要意义
数学建模的重点在于“建模”。在人类发展史上，无论哪个领域都存在着“建模”的影子。例如物理学家为了研究天体的运行而建立的模型；生物学家为了研究遗传的奥秘而建立的DNA 双螺旋结构等，这些都离不开“建模”。而数学建模是应用数学的方法来研究并解决问题。应用“数学建模”不仅仅解决了问题，在整个过程中，我们通过建模锻炼了分析问题、解决问题的能力，更有效率的发现问题的实质。
数学建模通常要求大家小组合作，集思广益。因此团队精神是成功的一个重要条件。
4
依靠自身的能力可以解决的问题有限，知识也存在着局限，此时就看重团队的合作与协调能力。
数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。数学建模使得电子计算机出现并飞速发展，数学也以空前的广度和深度向一切领域渗透。如今，在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多新方向。
4. 数学建模的方法与步骤
数学建模的基本方法有：
机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律；
测试分析：将对象看作“黑箱”, 通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型；
二者的结合：用机理分析建立模型结构，用测试分析确定模型参数。
数学建模的一般步骤上面也有一些提到过了，也就是数学建模的一个过程，可以用下图表现：
二、 数学建模应用于中学数学问题解决教学的实践
5 九年义务教育《数学课程标准》中指出：数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断，同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段。数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。数学教学要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。近几年，不仅每年高考都出了应用题，中考也加强了应用题的考察，这些应用题以数学建模为中心，以考察学生应用数学的能力，但学生在应用题中的得分率远底于其他题，原因之一就是学生缺乏数学建模能力和应用数学意识。因此中学数学教师应加强数学建模的教学，提高学生数学建模能力，培养学生应用数学意识和创新意识，本文结合教学实践，谈谈初中数学建模教学的一些学习体会。
教学中把数学建模应用于数学问题解决需：
⒈教学中建立数学模型的过程
1.1 审题 建立数学模型，首先要认真审题。实际问题的题目一般都比较长，涉及的名词、概念较多，因此要耐心细致地读题，深刻分解实际问题的背景，明确建模的目的；弄清问题中的主要已知事项，尽量掌握建模对象的各种信息；挖掘实际问题的内在规律，明确所求结论和对所求结论的限制条件。
1.2 简化 根据实际问题的特征和建模的目的，对问题进行必要简化。抓住主要因素，抛弃次要因素，根据数量关系，联系数学知识和方法，用精确的语言作出假设。
1.3 抽象 将已知条件与所求问题联系起来，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子、图形或表格等形式表达出来，从而建立数学模型。按上述方法建立起来的数学模型，是不是符合实际，理论上、方法上是否达到了优化，在对模型求解、分析以后通常还要用实际现象、数据等检验模型的合理性。 ⒉教学中具体的建模分析方法
① 关系分析法：通过寻找关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型方法。 ② 列表分析法：通过列表的方式探索问题的数学模型的方法。
③ 图象分析法：通过对图象中的数量关系分析来建立问题的数学模型的方法。 ⒊掌握常见数学应用题的基本数学模型
在初中阶段，通常建立如下一些数学模型来解应用问题：
① 建立几何图形模型
② 建立方程或不等式模型
③ 建立三角函数模型
④ 建立函数模型
6 ⒋数学建模教学活动设计的体会
①鼓励学生积极主动地参与，把教学过程更自觉地变成学生活动的过程。
教师不应只是“讲演者”、“总是正确的指导者”而应不时扮演下列角色：模特——他不仅演示正确的开始，也表现失误的开端和“拨乱反正”的思维技能。参谋——提一些求解的建议，提供可参考的信息，但并不代替学生做出决断。询问者——故作不知，问原因、找漏洞，督促学生弄清楚、说明白，完成进度。仲裁者和鉴赏者——评判学生工作成果的价值、意义、优劣，鼓励学生有创造性的想法和作法。
②注意结合学生的实际水平，分层次逐步地推进。
数学建模对教师、对学生都有一个逐步的学习和适应的过程。教师在设计数学建模活动时，特别应考虑学生的实际能力和水平，起始点要低，形式应有利于更多的学生能参与。在开始的教学中，在讲解知识的同时有意识地介绍知识的应用背景。在应用的重点环节结合比较多的训练，如实际语言和数学语言，列方程和不等式解应用题等。逐步扩展到让学生用已有的数学知识解释一些实际结果，描述一些实际现象，模仿地解决一些比较确定的应用问题，到独立地解决教师提供的数学应用问题和建模问题，最后发展成能独立地发现、提出一些实际问题，并能用数学建模的方法解决它。
③重视知识产生和发展过程教学。
由于知识产生和发展过程本身就蕴含着丰富的数学建模思想，因此老师既要重视实际问题背景的分析、参数的简化、假设的约定，还要重视分析数学模型建立的原理、过程，数学知识、方法的转化、应用，不能仅仅讲授数学建模结果，忽略数学建模的建立过程。 ④注意数学应用与数学建模的“活动性”。
数学应用与数学建模的目的并不是仅仅为了给学生扩充大量的数学课外知识，也不是仅仅为了解决一些具体问题，而是要培养学生的应用意识、数学能力和数学素质。因此我们不应该沿用老师讲题、学生模仿练习的套路，而应该重过程、重参与，更多地表现活动的特性。
三、 数学建模实例
火车票售票模型
摘要
余光中说，乡愁是一枚小小的邮票。其实，乡愁又何尝不是一张小小的车票？岁末年尾，许多在外打拼的人都会谈“春运”色变，显然，“春运”已经成为“回家难”的代名词。解决春运难题，不能只靠增加运力，还要从疏解客流上想办法。回看近10年中国
7 铁路的发展，火车运力在不断增加，但春运火车票的难求程度却并未减少。问题的根源在于经济飞速发展大背景下，人口流动的加快。12月1日起，中国铁路总公司开始执行新方案，将铁路互联网售票、电话订票的预售期由目前的20天逐步延长至60天. 乍一看中国铁路总公司的“史上最长火车票预售期”方案，让人喜上眉梢，尤其是学生群体，终于可以“放长线钓大鱼”。 火车票预售期的延长，其实是铁路部门将乘客的购票难题提前分解在了两个月内。在铁路运力与旅客总量不相匹配的前提下，火车票预售期由20天延长至60天的变化，还是不能从根本上解决春运一票难求的旧有难题。春运成为备受社会关注的热点问题. 本文主要讨论了在火车票售票中，五种方式售票的情况，通过建立了微分方程，综合分析了铁路部门放票数在售票中如何安排售票座席及不同的售票方式使得最大可能满足乘车人员需求且获利最大。
目 录
摘 要 .......................................................................................................................... 错误！未定义书签。
一、 问题重述............................................................................................................................................... 3
二、 问题分析............................................................................................................................................... 3
三、 模型假设............................................................................................................................................... 4
四、 符号说明............................................................................................................................................... 4
五、模型的建立与求解 . ................................................................................................................................ 5
5.1 快速饮酒的模型 . ........................................................................................... 错误！未定义书签。
5.2 慢速饮酒的模型 . ........................................................................................... 错误！未定义书签。
5.3 多次饮酒模型 . ............................................................................................................................... 10
六、 模型的评价与改进 . ............................................................................................................................ 11
6.1 解释题目中大李遇到的问题 . ..................................................................................................... 12
8 6.2喝了三瓶酒或半斤低度白酒后多久才能驾车 . .......................................................................... 13
6.3 估计血液中酒精含量在何时最高................................................................................................13
6.4 天天喝酒，能否开车....................................................................................................................14
6.5 给司机的忠告................................................................................................................................15
七、模型评价.................................................................................................................................................16
八、模型推广.................................................................................................................................................17
九、参考文献.................................................................................................................................................17
十、附录..........................................................................................................................................................17
一、 问题重述
铁路部门售票是以分对目的地不同的旅客购票地区安排座席，不同目的地的购票只能分开购买, 不能同时购买, 有些车次有中途站预留票, 这时会分开管理. 譬如 昆明—楚雄—大理 . 给楚雄预留1节车厢, 这时买昆明—楚雄票的客人就会被分配到预留楚雄出发的车厢上(反正到了楚雄这个座位肯定会被空出来, 不会影响到预留座位的乘坐), 而昆明—大理的客人会分配到其它车厢.
而从昆明上车买到楚雄下车后的座席是原先准备“席位复用”的。所谓“席位复用”，楚雄只是个过路站，所以除了分配给楚雄站的少量票额外，还有一部分票是从昆明上车的短途旅客“剩下的”，比如，乘客只从昆明坐到楚雄，那么从楚雄到大理这一段就可以另外再卖一张票，这在业内被称为“复用”。所以，在开车前，昆明铁路局会在固定的时间点，统计好短途购票信息与远途各站共享，便于远途车站售票供旅客购买。
在售票过程中部分旅客因自身原因要进行改签、退票，此部分票额统称为回笼票。
二、问题分析
以昆明铁路局的“昆明——楚雄——大理——丽江”这一趟路线为例说明，根据铁路局放票数，铁路局拟分给从昆明、楚雄、大理三个地区的乘客车厢座位数，其中有席
9 位复用的票和乘客退票等的回笼票又进入售票系统中，进行下一期的段的售票。
三 、模型假设
为了建立火车票售票问题的数学模型，做出以下假设：
（1) 售票过程中实行一人一票一座，且无旅客跳票、逃票出现.
（2) 售票过程中回笼票、预留票及时进入售票系统中. 进行售票。
（3) 售票过程中，由以往数据表明，每一阶段回笼票与席位复用票使用率均与一恒定的常数. 回笼票数与该段销售找销售票数有关且呈线性关系。
（4) 售票过程中票价与销售路程有关，且每一销售段票价一定。
四、符号说明
本文所用到的符号如下表：
表一
五、模型建立与求解
10 根据已知知识可得，分析示意图（图一）：
图一：酒精的吸收和输送流程示意图
图一中的) (t r ( mg / (100 mL) )和) (t B ( mg / (100 mL) )分别表示t 时刻酒精在吸收室和血液中的浓度.
5.1 快速饮酒模型
在该模型中，假设酒是在短时间内喝下去的. 在此方式下，吸收室中酒精质量浓度的变化率和) (t r 错误！未找到引用源。成正比关系，比例系数为3k ，可得微分方程：
) () (3t r k t r -=' v
m r =
) 0( 血液中酒精质量浓度的变化率为) () (21t B k t r k -，
于是可得微分方程：
) () () (21t B k t r k t r -=' 0) 0(=B
综上所述，得到快速饮酒的微分方程模型： ⎪⎩⎪⎨⎧=-='=-='0
) 0(), () () () 0(), () (213B t B k t r k t B v m r t r k t r
11 对模型进行求解得： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--==---) () () () (323231t k t k t k e e k k v m k t B e v m t r 通过Matlab 软件对数据进行拟合，求的：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====15. 1213
1607
. 21828. 01607. 2321v k k k
根据假设，得知：
⎩⎨⎧=v 0.68M m v 2158.0ρ满足关系式：
和质量人的体液毫克为：每瓶啤酒中的酒精含量 错误！未找到引用源。为体液密度 (mg / (100 mL)),且为一常数。
从相关的资料中可以得知：酒精的密度为0.8毫克／毫升，啤酒中酒精占3．3％到5％，可以取4．15％为计算标准，每瓶啤酒650毫升．可以得到某人喝下一瓶啤酒时，总的酒精量为650×4．15％×0．8=2158．0毫克 .
pv. 0.68M =系，满足人体的体液和质量的关， 得M v 385542. 16=，
将上面的数据带入后的到新的方程组：
⎪⎩
⎪⎨⎧-==---) (5963. 4430) , , (058868. 4272) , , (1607. 21828. 01607. 2t t t e e M n t M n B e M n t M n r
由上式可以得出，在短时间内喝酒的方式下，血液中的酒精质量浓度与喝入的酒精量m 成正比，与人体质量M 成反比，并随时间t 变化.
根据已知数据和求得的函数，使用Matlab 软件进行拟合，绘制出在短时间内喝下两瓶酒后，人体血液中酒精浓度随时间的变化关系图(如图二) ：
12
错误！未找到引用源。/mg/100ml
图二： 血液中酒精随时间的变化关系 t/h
从图像中可以判断出：在饮酒后0-9.5小时内为饮酒驾车；在饮酒后9.5以后则为正常情况.
5.2 慢速饮酒模型
在该模型中，假设酒是在较长一段时间t S 内喝下去的. 在此方式下分析如下:
5.2.1 0 ≤t ≤t S (喝酒持续时间) ，
吸收室中酒精质量浓度的变化率仍与酒精进入吸收室的速率有关. 根据假设，酒精进入吸收室的速率为错误！未找到引用源。, 吸收室中酒精质量浓度的变化率由) (3t r k -和t
vS m 错误！未找到引用源。组成. 可得微分方程： 0) 0(), () (3=-='r t r k vS m t r t
血液中酒精质量浓度的变化率仍由错误！未找到引用源。和−错误！未找到引用源。
13 组成，
因此的微分方程：
0) 0(), () () (21=-='B t B k t r k t B
综上所述，得到慢速饮酒的微分方程模型：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-='=-='0) 0(, ) (0) 0(), () () (321r r k vS m t r B t B k t r k t B t
对模型进行求解得： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-+--=-=----) 1() () () () 1() (23233132313t k t t k t k t t k t e k vS mk e e k k k vS mk t B e k vS m t r 将已经求得的数据带入上式后的到新的方程组：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-+-=-=----) 1(71645. 2) (0814204. 713) () 1(5204. 2824) (1828. 01828. 01607. 21607. 2t t t t t t t e MS n e e MS n t B e MS n t r
5.2.2 t ≥t S 时(喝完酒后)
吸收室中酒精质量浓度的变化率和) (t r 成正比关系，比例系数为错误！未找到引用源。，
可得微分方程： ) () (3t r k t r -='
血液中酒精质量浓度的变化率为
), () (21t B k t r k -
于是可得微分方程 ：
) () () (21t B k t r k t B -='
综上所述，得到快速饮酒的微分方程模型：
⎩
⎨⎧-='-=') () () ()
() (213t B k t r k t B t r k t r
14
对模型进行求解得：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--+--=-=----) 1() () 1() () () 1() () 1() (2233333231323132313t t t t S k t S k t t k t S k t k t S k e k k k vS nk e k k k vS nk e k k k vS e nk t B e k vS e n t r 将已经求错误！未找到引用源。的数据带入上式后的到新的方程组
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+-=-=------t S t S t S t S t t S e e MS n e MS n e MS e n t B e MS e n t M n r t t t t t 1828. 01828. 01828. 01607. 21607. 21607. 21607. 2) 1(16318. 45980) 1(350482. 2513) 1(350482. 2513) () 1(520405. 2824) , , ( 由上面(1)式和(2)式可以看出，在用慢速喝酒的方式下，血液中的酒精质量浓度与喝入的酒精量m 成正比，与人体质量M 和喝酒所用时间t S 成反比，并随着时间t 变化.
在此，根据已知的数据和上面求得的函数，使用Matlab 软件绘制出在两个小时内匀速的喝下三瓶酒后，人体内酒精浓度随时间的变化图（如图三）：
图三：两小时匀速饮酒后血液中酒精含量随时间变化图
15 从图像中可得：在饮酒后2—4.5小时内为醉酒驾车；在饮酒后4.5---12小时为饮酒驾车.
5.3 多次饮酒模型
在此模型中，假设多次饮酒的周期为错误！未找到引用源。，每次饮酒量均相同为E . 在每个周期内，吸收室中酒精质量浓度的变化率和错误！未找到引用源。成正比关系，比例系数为3k ，可得微分方程：
) () (3t r k t r -='
血液中酒精质量浓度的变化率为) () (21t B k t r k -, 于是可得微分方程：
) () () (21t B k t r k t B -='
对于每个周期，错误！未找到引用源。的变化率和错误！未找到引用源。的变化率均满足以上的微分方程.
综上所述，得到多次饮酒的微分方程模型：
⎩⎨⎧≤≤--='-='nT t T n t B k t r k t B t k t r ) 1(, )
() () () () (213 对模型进行求解得：
nT t T n e C e k k k C t B e C t r t k t k t
k ≤≤-⎪⎩
⎪⎨⎧+-==---) 1(, ) () () (233232111
其中错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。是解微分方程中的参数.
在所求得的结果中：
（1）当n=1时
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤≤--==---T t e e k k v m k t B e v m t r t k t k t k 0, ) () () () (323231 （2）当n>1时
解出通解中的参数为：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-+-⨯=+=---→--→--→--T n k t T n k t T n t T n k e k k E t r k e t B C E t r e C T n T n ) 1(321) 1(2) 1() 1(12) 1(2) 1(3) ) (lim () (lim ) ) (lim (
16
图四：多次饮酒血液中酒精浓度示意图
由图四可得：在多次饮酒过程中，每个饮酒周期结束时，体内酒精浓度下降，而在下一个饮酒周期开始时，血液中酒精浓度呈上升趋势，这是由于吸收室中酒精浓度突然上升造成的.
六、模型分析
根据本文所建立的模型，下面将会分析并说明实际中遇到的一些问题;
6.1 解释题目中大李遇到的问题
用5.1快速饮酒模型进行解释：
从中午12点到下午6点，
⎪⎩
⎪⎨⎧-==≤≤---) (5963. 4430) , , (058868. 4272) , , (601607. 21828. 021607t t t e e M n t M n B e M n t M n r t
T=6时，错误！未找到引用源。=1451.598371mg / (100 mL)
由于在下午6点未测出酒精含量超标，则错误！未找到引用源。<20 mg / (100 mL)，
17 由此可以估计大李的质量m>67.697kg.之后，设大李再次饮酒的时间为晚上错误！未找到引用源。时刻. 由于此时大李的吸收室和血液中含有残留的酒精. 所以，当t 错误！未找到引用源。时，大李喝酒满足的微分方程为：
⎪⎩⎪⎨⎧≥=-='+=-='000112111
001131) () (), () () () () (), () (t t t B t B t B k t r k t B t r v m t r t r k t r 将已经求v k k k , , , 321的数据带入上式后得： ) (1607. 25963. 44301828. 01828. 01607. 215963. 44305963. 44305963. 44305963. 4430) (t t M t t e M
e M e M e M t B -----++-= 根据上式可得错误！未找到引用源。，与大李在凌晨2点被测出饮酒驾车完全符合. 6.2 喝了三瓶酒或半斤低度白酒后多久才能驾车
（1）快速饮酒状况下：
由5.1的模型可知： ) (5963. 4430) , , (1607. 21828. 0t t e e M
t M n B ---=
已知喝了三瓶酒，则n=3，所以有： ) (2636. 12958) , , 3(1607. 21828. 0t t e e t M B ---=
设在错误！未找到引用源。时刻刚好违反标准，之后，人体血液中酒精浓度先上升后下降. 在错误！未找到引用源。时刻，刚好符合标准:
⎩⎨⎧=>20
) , , 3(20) , , 3(t M B t M B
由于刚饮完酒从错误！未找到引用源。到错误！未找到引用源。时刻，司机不会去驾车，并且错误！未找到引用源。很小，故在错误！未找到引用源。时间内，司机违反标准，得到的数据结果如下（见表二）
表二：快速饮酒时司机质量与恢复安全驾车时间关系表
由表可以看出，在短时间内喝相同量的酒的情况下，质量越大的人，恢复驾车的时间越短，血液中酒精的浓度相对越低.
（2）慢速饮酒状况下：
18 由5.2的模型（假设在两个小时内喝完）可知：
⎪⎩
⎪⎨⎧>-=≤≤-=-----2, 65895. 1652781242. 17456) , , 3(20), (M 71486.12560) , , 3(1607. 21828. 01828. 01607. 2. 0t e e M t M B t e e t M B t t t 设在错误！未找到引用源。时刻刚好违反标准，之后，人体血液中酒精浓度先上升后下降。在错误！未找到引用源。时刻，刚好符合标准:
⎩
⎨⎧=>20) , , 3(20) , , 3(21t M B t M B 由于刚饮完酒从错误！未找到引用源。到错误！未找到引用源。时刻，司机不会去驾车，并且错误！未找到引用源。很小，故在错误！未找到引用源。时间内，司机违反标准，取m 为50,60,70,80,90,100，得到的, 结果如下（见表三）：
表三：慢速饮酒的司机身体质量与恢复驾车时间关系表
观察表三，发现其与表一揭示的规律完全吻合. 另外，通过比较可得到新的结论：喝酒时间越长，恢复驾车的时间越短. 请司机朋友们不要误以为喝酒越快，恢复驾车的时间就越短.
6.3 估计血液中酒精含量在何时最高
（1）快速饮酒状况下：
由5.1的模型可知：
) (5963. 4430) , , (1607. 21828. 0t t e e M
n t M n B ---= 由图一可知，在M n 和一定时，3k 的变化趋势是先上升后下降.
根据数学知识，求) (t B '：
) 1607. 21828. 0(5963. 4430) (1607. 21828. 0t t e e M
n t B ----=' 并令错误！未找到引用源。，即可求出错误！未找到引用源。，血液中酒精的含量在错误！未找到引用源。时刻最高.
取n=3,M分别为50,60,70,80,90,100得表四：
表四：快速饮酒时司机身体质量与血液中酒精最高含量关系表
19
从表四中可以看出，在短时间内喝入等量酒的情况下，质量越大的人，血液中酒精质量浓度越低，最大浓度也相对越低. 不同质量的人的血液中酒精质量浓度达到最大值都是在错误！未找到引用源。. 说明在快速饮酒方式下，血液中酒精质量浓度达到最大值的时间是由体内酒精质量浓度决定的. （2）慢速饮酒状况下：
由5.2的模型（假设在两个小时内喝完）可知：
采用上述同样的方法，当n=3,M为50,60,70,80,90,100，得表五：
表五：慢速饮酒时质量与血液中酒精最高含量关系表
由表四和表五比较得出：喝酒时间越长，血液中酒精的质量浓度的最小值越小，达到最大值所用时间越长.
6.4 天天喝酒，能否开车
在此，假设每天都在同一时间饮酒. 考虑到问题的普遍性，假设喝酒人的身体质量为M=70kg。在t S =1h内喝了n 瓶啤酒，且每天只喝一次.
根据5.2可得：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡≥⨯----+-=≤≤-=------1, ) 1(173193. 95) 1(824583. 4735100
. 183) (10), (1345. 14) (1828. 01828. 01828. 01607. 21828. 01607. 2t e e e ne t B t e e n t B t t t t
t t 显然，恢复驾车的等待时间t 与n 有关，恢复驾车时，分别取n=0.5,1,1.5,2,2.5,3得到n 取不同值时，血液中酒精浓度的变化曲线由图五给出，恢复驾车的所需时间由表五给出.
20 表六：不同饮酒量与血液中酒精浓度变化关系表
图五：不同饮酒量与血液中酒精浓度变化关系图
从图五中可以看出，在t =14 h 时，血液中酒精含量已经很低(≤ 7.301 66 mg/mL) ，对第2 天同一时刻喝酒基本没有影响，这说明驾车人可以每天都喝酒. 从表五中可以看出，喝半瓶啤酒不影响开车，如果喝酒5 h 后需要开车，只能喝1 瓶，10 h 后开车，则可以喝3 瓶. 这对于司机具有非常现实的指导意义.
6.5 给司机的忠告
致广大的司机朋友们的一封信
司机朋友们适量饮酒可以促进血液循环，对身体有一定的好处，但是过量饮酒则会不仅对身体造成危害，还给社会带来不安全隐患. 所以对于喜欢饮酒的司机朋友们，饮酒量和时间关系控制是驾车必不可少的条件，让体内的酒精浓度在符合国家标准情况下安全驾驶.
随着社会的进步，经济的发展，人们的生活条件也越来越富裕. 不仅追求生活质量的
21 提高，而且越来越关注身体的健康和保养. 酒是餐桌上必不可少的一件物品. 它与人们的日常生活息息相关. 人在饮酒之后，酒对人脑的作用与人体血液中酒精浓度有着密切的关系，它将影响人体思想、行为，少喝固然能促进消化，有益身心健康. 但是，多喝的后果是不堪设想的：伤及他人，对人体大脑造成伤害，更可怕的是在交通事故中它所扮演的恶性角色。据统计，酒后驾车发生事故的比率为没有饮酒情况下的16倍，几率高达27％. 由此可以看出，合理饮酒至关重要.
在此，给想要饮酒驾车的司机提出一些建议和忠告：
（1）为了自身的健康，要安全饮酒。安全性饮纯酒量每日为50ml 以内，有害量是每日100ml ，危险量是每日150ml 以上.
（2）如果司机想每天即饮酒又驾车，而又不违规，请司机一定要记住每天涉入的酒精量不要超过20000毫克.
（3）一次性饮酒的酒精量越大，到达标时的时间会越长，所以司机等待时间的长短应根据饮酒量的多少而定。比如说一次饮一瓶啤酒，大约6个小时后酒精含量就可达标；一次性喝2瓶啤酒，大概要等9.5小时后才能达标；而一次性喝3瓶啤酒，则大概要等12小时后才能达标.
（4）连续饮酒次数越多，每次间隔时间应越长. 以司机大李为例，第一次饮啤酒一瓶，过六个小时达标，但第二次饮同样多的酒，同样再过六个，酒精含量增加到27毫克/百毫升，要使第二次饮酒后，不超标，则至少应在7.5小时后再驾车.
当然，司机为了自身及他人的生命安全，应该尽量少饮酒，并在饮酒后较短的时间内，尽量避免驾车. 在现代生活中，生活节奏日益紧张，想得到一份精神的解脱和轻松，小酌一杯，倒也无妨. 切记凡是要有个度.
七、模型评价
本文建立的模型具有以下三个优点和四个不足的地方.
7.1模型的优点
（1）. 本模型从三种情况分别建立模型，模型稳定性高，适用性强。模型简单明了，易于理解，给实际生活带来便利.
（2）. 运用MATLAB 软件，准确求解，在运用MATLAB 进行数据拟合时，得到了较理想化的曲线。在表示喝三瓶啤酒的人什么时候是饮酒驾车，什么时候是醉酒驾车时，运用MATLAB 准确的做出了函数据图像，使结果一目了然.
（3）. 本模型计算步骤清晰，从问题出发，分析了应该考虑的各种情况，建立了一般的数学模型，并进行实例验证，从而证明我们建立的数学模型可以较好的解决实际问题，可靠性较高.
22 7.2模型的缺点
（1）. 由于模型参数仅是依靠题中给出的一组数据拟合求解得出，可能有偏差.
（2）. 模型为使计算简便，使所得的结果更理想化，忽略了一些次要的因素. 如：酒进入身体后随着血液流动，人体对酒精的吸收率是随时间变化的，而本 模型是在吸收率恒定的情况下，进行求解的. 对于这些问题，由于时间关系本模型还未能更好的研究，有待以后的改进和完善.
（3）. 在建立模型中忽略了很多会影响酒精浓度的因素，比如没有考虑到每个人自身的体质酒精在体内散发速度也不同，所以解答出的结果具有普遍性，对某些司机可能不适用.
（4）. 如果采用三室模型数据会更加精确.
八、模型推广
第一，由于在上述模型中没有考虑到一次性饮酒过量而致人死亡的情况. 可以根据人体承受酒精浓度的上限来确定一次性饮酒不能超过的量.
第二，可以考虑离散时间点的酒精在人体的叠加情况，这样可以根据人体承受酒精浓度的上限来确定饮酒频度的上限来指出人们饮酒的时间间隔来确保生命健康.
第三，为了确保司机开车安全，根据国家相关部门规定的司机人体酒精含量，建立离散点上人体浓度模型和在一次饮酒量相同的情况下，给出司机饮酒最短间隔.
第四，在上述基础上，按照酒精对司机开车的上限和对人体生命健康的上限，建立离散时间点上不定量的统计模型. 使得横向时间上的人体酒精含量叠加和纵向人体酒精含量的上限一起约束. 为司机和百姓的饮酒提供可靠.
九、参考文献
[1] 万福永·数学实验教程[J]北京·科学出版社.2006
[2] 姜启源，谢金星，叶俊，数学建模[J]北京. 高等教育出版社.2003.8
[3] 杨启帆 方道元，数学建模[J]杭州. 浙江大学出版社.1999年
[4] 王琦，《MATLAB 基础与应用实例集粹》，北京，人民邮电出版社出版发行，2007.11
[5] 姜世宏，《MATLAB 语言与数学实验》，北京，科学出版社，2007.3
十、附录
附录一：
体重约70kg 的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：
23
目 录
一、浅谈对问题解决与数学建模的认识 . .................................................................................................... 5
1.1从现实现象到数学模型 . ....................................................................................................................
1.2数学建模的相关基本概念 . ............................................................................ 错误！未定义书签。
1.3 数学建模的意义 . ........................................................................................................................... 10
1.4 数学建模的方法步骤 . ................................................................................................................... 10
二、数学建模应用于中学数学问题解决教学的实践 . .............................................................................. 11
2.1教学中建立数学模型的过程 . ........................................................................................................ 12
2.2教学中具体的建模分析方法 . ........................................................................................................ 12
2.3掌握常见数学应用题的基本数学模型 . ........................................................................................ 12
2.4数学建模教学活动设计的体会 . .................................................................................................... 12
三、模型案例.................................................................................................................................................16
2 一、 浅谈对问题解决与数学建模的认识
1. 从现实现象到数学模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。在现实生活中，我们会见到许许多多的模型，如：玩具、照片、飞机、火箭模型等这类实物模型；水箱中的舰艇、风洞中的飞机等这类物理模型；地图、电路图、分子结构图等这类符号模型。
数学模型的分类有很多不同的分法，如按应用领域分，有人口、交通、经济、生态等；按数学方法分，有初等数学、微分方程、规划、统计等；按表现特性分，有确定和随机、静态和动态、离散和连续、线性和非线性等等；按建模目的分，有描述、优化、预报、决策等。
数学建模就是建立数学模型的全过程：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。下图为数学建模全过程：
其中，表述是指根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题；求解是指选择适当的数学方法求得数学模型的解答；解释是指将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象；验证是指用现实对象的信息检验得到的解答。全过程就是一个从实践到理论，在从理论回到实践的过程。
2．数学建模的相关基本概念 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象有关信息、作出合理、简化的假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型(Mathematical Model) 的全过程就称为数学建模(Mathematical Modeling)。即数学建模是一个由“模型准备→模型假设→模型构成→模型求解→模型分析→模型检验→模型应用”的过程。
3
模型准备：即了解问题的时机背景，明确建模的目的；搜寻有关的信息，掌握对象的特征。
模型假设：针对问题的特点和建模的目的，做出合理简化的假设。
模型构成：用数学的语言、符号来描述问题。（使用类比发等）。
模型求解：应用各种数学方法、软件、计算机技术等。
模型分析：例如:对结果的误差分析或者统计分析，对模型对数据的稳定性分析等。 模型检验：用现实对象的信息检验得到的结果。
模型应用：因问题的性质和建模的目的而异。
而数学建模的具体应用可用下图直观的表达出来：
3．数学建模的重要意义
数学建模的重点在于“建模”。在人类发展史上，无论哪个领域都存在着“建模”的影子。例如物理学家为了研究天体的运行而建立的模型；生物学家为了研究遗传的奥秘而建立的DNA 双螺旋结构等，这些都离不开“建模”。而数学建模是应用数学的方法来研究并解决问题。应用“数学建模”不仅仅解决了问题，在整个过程中，我们通过建模锻炼了分析问题、解决问题的能力，更有效率的发现问题的实质。
数学建模通常要求大家小组合作，集思广益。因此团队精神是成功的一个重要条件。
4
依靠自身的能力可以解决的问题有限，知识也存在着局限，此时就看重团队的合作与协调能力。
数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。数学建模使得电子计算机出现并飞速发展，数学也以空前的广度和深度向一切领域渗透。如今，在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多新方向。
4. 数学建模的方法与步骤
数学建模的基本方法有：
机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律；
测试分析：将对象看作“黑箱”, 通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型；
二者的结合：用机理分析建立模型结构，用测试分析确定模型参数。
数学建模的一般步骤上面也有一些提到过了，也就是数学建模的一个过程，可以用下图表现：
二、 数学建模应用于中学数学问题解决教学的实践
5 九年义务教育《数学课程标准》中指出：数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断，同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段。数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。数学教学要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。近几年，不仅每年高考都出了应用题，中考也加强了应用题的考察，这些应用题以数学建模为中心，以考察学生应用数学的能力，但学生在应用题中的得分率远底于其他题，原因之一就是学生缺乏数学建模能力和应用数学意识。因此中学数学教师应加强数学建模的教学，提高学生数学建模能力，培养学生应用数学意识和创新意识，本文结合教学实践，谈谈初中数学建模教学的一些学习体会。
教学中把数学建模应用于数学问题解决需：
⒈教学中建立数学模型的过程
1.1 审题 建立数学模型，首先要认真审题。实际问题的题目一般都比较长，涉及的名词、概念较多，因此要耐心细致地读题，深刻分解实际问题的背景，明确建模的目的；弄清问题中的主要已知事项，尽量掌握建模对象的各种信息；挖掘实际问题的内在规律，明确所求结论和对所求结论的限制条件。
1.2 简化 根据实际问题的特征和建模的目的，对问题进行必要简化。抓住主要因素，抛弃次要因素，根据数量关系，联系数学知识和方法，用精确的语言作出假设。
1.3 抽象 将已知条件与所求问题联系起来，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子、图形或表格等形式表达出来，从而建立数学模型。按上述方法建立起来的数学模型，是不是符合实际，理论上、方法上是否达到了优化，在对模型求解、分析以后通常还要用实际现象、数据等检验模型的合理性。 ⒉教学中具体的建模分析方法
① 关系分析法：通过寻找关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型方法。 ② 列表分析法：通过列表的方式探索问题的数学模型的方法。
③ 图象分析法：通过对图象中的数量关系分析来建立问题的数学模型的方法。 ⒊掌握常见数学应用题的基本数学模型
在初中阶段，通常建立如下一些数学模型来解应用问题：
① 建立几何图形模型
② 建立方程或不等式模型
③ 建立三角函数模型
④ 建立函数模型
6 ⒋数学建模教学活动设计的体会
①鼓励学生积极主动地参与，把教学过程更自觉地变成学生活动的过程。
教师不应只是“讲演者”、“总是正确的指导者”而应不时扮演下列角色：模特——他不仅演示正确的开始，也表现失误的开端和“拨乱反正”的思维技能。参谋——提一些求解的建议，提供可参考的信息，但并不代替学生做出决断。询问者——故作不知，问原因、找漏洞，督促学生弄清楚、说明白，完成进度。仲裁者和鉴赏者——评判学生工作成果的价值、意义、优劣，鼓励学生有创造性的想法和作法。
②注意结合学生的实际水平，分层次逐步地推进。
数学建模对教师、对学生都有一个逐步的学习和适应的过程。教师在设计数学建模活动时，特别应考虑学生的实际能力和水平，起始点要低，形式应有利于更多的学生能参与。在开始的教学中，在讲解知识的同时有意识地介绍知识的应用背景。在应用的重点环节结合比较多的训练，如实际语言和数学语言，列方程和不等式解应用题等。逐步扩展到让学生用已有的数学知识解释一些实际结果，描述一些实际现象，模仿地解决一些比较确定的应用问题，到独立地解决教师提供的数学应用问题和建模问题，最后发展成能独立地发现、提出一些实际问题，并能用数学建模的方法解决它。
③重视知识产生和发展过程教学。
由于知识产生和发展过程本身就蕴含着丰富的数学建模思想，因此老师既要重视实际问题背景的分析、参数的简化、假设的约定，还要重视分析数学模型建立的原理、过程，数学知识、方法的转化、应用，不能仅仅讲授数学建模结果，忽略数学建模的建立过程。 ④注意数学应用与数学建模的“活动性”。
数学应用与数学建模的目的并不是仅仅为了给学生扩充大量的数学课外知识，也不是仅仅为了解决一些具体问题，而是要培养学生的应用意识、数学能力和数学素质。因此我们不应该沿用老师讲题、学生模仿练习的套路，而应该重过程、重参与，更多地表现活动的特性。
三、 数学建模实例
火车票售票模型
摘要
余光中说，乡愁是一枚小小的邮票。其实，乡愁又何尝不是一张小小的车票？岁末年尾，许多在外打拼的人都会谈“春运”色变，显然，“春运”已经成为“回家难”的代名词。解决春运难题，不能只靠增加运力，还要从疏解客流上想办法。回看近10年中国
7 铁路的发展，火车运力在不断增加，但春运火车票的难求程度却并未减少。问题的根源在于经济飞速发展大背景下，人口流动的加快。12月1日起，中国铁路总公司开始执行新方案，将铁路互联网售票、电话订票的预售期由目前的20天逐步延长至60天. 乍一看中国铁路总公司的“史上最长火车票预售期”方案，让人喜上眉梢，尤其是学生群体，终于可以“放长线钓大鱼”。 火车票预售期的延长，其实是铁路部门将乘客的购票难题提前分解在了两个月内。在铁路运力与旅客总量不相匹配的前提下，火车票预售期由20天延长至60天的变化，还是不能从根本上解决春运一票难求的旧有难题。春运成为备受社会关注的热点问题. 本文主要讨论了在火车票售票中，五种方式售票的情况，通过建立了微分方程，综合分析了铁路部门放票数在售票中如何安排售票座席及不同的售票方式使得最大可能满足乘车人员需求且获利最大。
目 录
摘 要 .......................................................................................................................... 错误！未定义书签。
一、 问题重述............................................................................................................................................... 3
二、 问题分析............................................................................................................................................... 3
三、 模型假设............................................................................................................................................... 4
四、 符号说明............................................................................................................................................... 4
五、模型的建立与求解 . ................................................................................................................................ 5
5.1 快速饮酒的模型 . ........................................................................................... 错误！未定义书签。
5.2 慢速饮酒的模型 . ........................................................................................... 错误！未定义书签。
5.3 多次饮酒模型 . ............................................................................................................................... 10
六、 模型的评价与改进 . ............................................................................................................................ 11
6.1 解释题目中大李遇到的问题 . ..................................................................................................... 12
8 6.2喝了三瓶酒或半斤低度白酒后多久才能驾车 . .......................................................................... 13
6.3 估计血液中酒精含量在何时最高................................................................................................13
6.4 天天喝酒，能否开车....................................................................................................................14
6.5 给司机的忠告................................................................................................................................15
七、模型评价.................................................................................................................................................16
八、模型推广.................................................................................................................................................17
九、参考文献.................................................................................................................................................17
十、附录..........................................................................................................................................................17
一、 问题重述
铁路部门售票是以分对目的地不同的旅客购票地区安排座席，不同目的地的购票只能分开购买, 不能同时购买, 有些车次有中途站预留票, 这时会分开管理. 譬如 昆明—楚雄—大理 . 给楚雄预留1节车厢, 这时买昆明—楚雄票的客人就会被分配到预留楚雄出发的车厢上(反正到了楚雄这个座位肯定会被空出来, 不会影响到预留座位的乘坐), 而昆明—大理的客人会分配到其它车厢.
而从昆明上车买到楚雄下车后的座席是原先准备“席位复用”的。所谓“席位复用”，楚雄只是个过路站，所以除了分配给楚雄站的少量票额外，还有一部分票是从昆明上车的短途旅客“剩下的”，比如，乘客只从昆明坐到楚雄，那么从楚雄到大理这一段就可以另外再卖一张票，这在业内被称为“复用”。所以，在开车前，昆明铁路局会在固定的时间点，统计好短途购票信息与远途各站共享，便于远途车站售票供旅客购买。
在售票过程中部分旅客因自身原因要进行改签、退票，此部分票额统称为回笼票。
二、问题分析
以昆明铁路局的“昆明——楚雄——大理——丽江”这一趟路线为例说明，根据铁路局放票数，铁路局拟分给从昆明、楚雄、大理三个地区的乘客车厢座位数，其中有席
9 位复用的票和乘客退票等的回笼票又进入售票系统中，进行下一期的段的售票。
三 、模型假设
为了建立火车票售票问题的数学模型，做出以下假设：
（1) 售票过程中实行一人一票一座，且无旅客跳票、逃票出现.
（2) 售票过程中回笼票、预留票及时进入售票系统中. 进行售票。
（3) 售票过程中，由以往数据表明，每一阶段回笼票与席位复用票使用率均与一恒定的常数. 回笼票数与该段销售找销售票数有关且呈线性关系。
（4) 售票过程中票价与销售路程有关，且每一销售段票价一定。
四、符号说明
本文所用到的符号如下表：
表一
五、模型建立与求解
10 根据已知知识可得，分析示意图（图一）：
图一：酒精的吸收和输送流程示意图
图一中的) (t r ( mg / (100 mL) )和) (t B ( mg / (100 mL) )分别表示t 时刻酒精在吸收室和血液中的浓度.
5.1 快速饮酒模型
在该模型中，假设酒是在短时间内喝下去的. 在此方式下，吸收室中酒精质量浓度的变化率和) (t r 错误！未找到引用源。成正比关系，比例系数为3k ，可得微分方程：
) () (3t r k t r -=' v
m r =
) 0( 血液中酒精质量浓度的变化率为) () (21t B k t r k -，
于是可得微分方程：
) () () (21t B k t r k t r -=' 0) 0(=B
综上所述，得到快速饮酒的微分方程模型： ⎪⎩⎪⎨⎧=-='=-='0
) 0(), () () () 0(), () (213B t B k t r k t B v m r t r k t r
11 对模型进行求解得： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--==---) () () () (323231t k t k t k e e k k v m k t B e v m t r 通过Matlab 软件对数据进行拟合，求的：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====15. 1213
1607
. 21828. 01607. 2321v k k k
根据假设，得知：
⎩⎨⎧=v 0.68M m v 2158.0ρ满足关系式：
和质量人的体液毫克为：每瓶啤酒中的酒精含量 错误！未找到引用源。为体液密度 (mg / (100 mL)),且为一常数。
从相关的资料中可以得知：酒精的密度为0.8毫克／毫升，啤酒中酒精占3．3％到5％，可以取4．15％为计算标准，每瓶啤酒650毫升．可以得到某人喝下一瓶啤酒时，总的酒精量为650×4．15％×0．8=2158．0毫克 .
pv. 0.68M =系，满足人体的体液和质量的关， 得M v 385542. 16=，
将上面的数据带入后的到新的方程组：
⎪⎩
⎪⎨⎧-==---) (5963. 4430) , , (058868. 4272) , , (1607. 21828. 01607. 2t t t e e M n t M n B e M n t M n r
由上式可以得出，在短时间内喝酒的方式下，血液中的酒精质量浓度与喝入的酒精量m 成正比，与人体质量M 成反比，并随时间t 变化.
根据已知数据和求得的函数，使用Matlab 软件进行拟合，绘制出在短时间内喝下两瓶酒后，人体血液中酒精浓度随时间的变化关系图(如图二) ：
12
错误！未找到引用源。/mg/100ml
图二： 血液中酒精随时间的变化关系 t/h
从图像中可以判断出：在饮酒后0-9.5小时内为饮酒驾车；在饮酒后9.5以后则为正常情况.
5.2 慢速饮酒模型
在该模型中，假设酒是在较长一段时间t S 内喝下去的. 在此方式下分析如下:
5.2.1 0 ≤t ≤t S (喝酒持续时间) ，
吸收室中酒精质量浓度的变化率仍与酒精进入吸收室的速率有关. 根据假设，酒精进入吸收室的速率为错误！未找到引用源。, 吸收室中酒精质量浓度的变化率由) (3t r k -和t
vS m 错误！未找到引用源。组成. 可得微分方程： 0) 0(), () (3=-='r t r k vS m t r t
血液中酒精质量浓度的变化率仍由错误！未找到引用源。和−错误！未找到引用源。
13 组成，
因此的微分方程：
0) 0(), () () (21=-='B t B k t r k t B
综上所述，得到慢速饮酒的微分方程模型：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-='=-='0) 0(, ) (0) 0(), () () (321r r k vS m t r B t B k t r k t B t
对模型进行求解得： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-+--=-=----) 1() () () () 1() (23233132313t k t t k t k t t k t e k vS mk e e k k k vS mk t B e k vS m t r 将已经求得的数据带入上式后的到新的方程组：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-+-=-=----) 1(71645. 2) (0814204. 713) () 1(5204. 2824) (1828. 01828. 01607. 21607. 2t t t t t t t e MS n e e MS n t B e MS n t r
5.2.2 t ≥t S 时(喝完酒后)
吸收室中酒精质量浓度的变化率和) (t r 成正比关系，比例系数为错误！未找到引用源。，
可得微分方程： ) () (3t r k t r -='
血液中酒精质量浓度的变化率为
), () (21t B k t r k -
于是可得微分方程 ：
) () () (21t B k t r k t B -='
综上所述，得到快速饮酒的微分方程模型：
⎩
⎨⎧-='-=') () () ()
() (213t B k t r k t B t r k t r
14
对模型进行求解得：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--+--=-=----) 1() () 1() () () 1() () 1() (2233333231323132313t t t t S k t S k t t k t S k t k t S k e k k k vS nk e k k k vS nk e k k k vS e nk t B e k vS e n t r 将已经求错误！未找到引用源。的数据带入上式后的到新的方程组
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+-=-=------t S t S t S t S t t S e e MS n e MS n e MS e n t B e MS e n t M n r t t t t t 1828. 01828. 01828. 01607. 21607. 21607. 21607. 2) 1(16318. 45980) 1(350482. 2513) 1(350482. 2513) () 1(520405. 2824) , , ( 由上面(1)式和(2)式可以看出，在用慢速喝酒的方式下，血液中的酒精质量浓度与喝入的酒精量m 成正比，与人体质量M 和喝酒所用时间t S 成反比，并随着时间t 变化.
在此，根据已知的数据和上面求得的函数，使用Matlab 软件绘制出在两个小时内匀速的喝下三瓶酒后，人体内酒精浓度随时间的变化图（如图三）：
图三：两小时匀速饮酒后血液中酒精含量随时间变化图
15 从图像中可得：在饮酒后2—4.5小时内为醉酒驾车；在饮酒后4.5---12小时为饮酒驾车.
5.3 多次饮酒模型
在此模型中，假设多次饮酒的周期为错误！未找到引用源。，每次饮酒量均相同为E . 在每个周期内，吸收室中酒精质量浓度的变化率和错误！未找到引用源。成正比关系，比例系数为3k ，可得微分方程：
) () (3t r k t r -='
血液中酒精质量浓度的变化率为) () (21t B k t r k -, 于是可得微分方程：
) () () (21t B k t r k t B -='
对于每个周期，错误！未找到引用源。的变化率和错误！未找到引用源。的变化率均满足以上的微分方程.
综上所述，得到多次饮酒的微分方程模型：
⎩⎨⎧≤≤--='-='nT t T n t B k t r k t B t k t r ) 1(, )
() () () () (213 对模型进行求解得：
nT t T n e C e k k k C t B e C t r t k t k t
k ≤≤-⎪⎩
⎪⎨⎧+-==---) 1(, ) () () (233232111
其中错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。是解微分方程中的参数.
在所求得的结果中：
（1）当n=1时
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤≤--==---T t e e k k v m k t B e v m t r t k t k t k 0, ) () () () (323231 （2）当n>1时
解出通解中的参数为：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-+-⨯=+=---→--→--→--T n k t T n k t T n t T n k e k k E t r k e t B C E t r e C T n T n ) 1(321) 1(2) 1() 1(12) 1(2) 1(3) ) (lim () (lim ) ) (lim (
16
图四：多次饮酒血液中酒精浓度示意图
由图四可得：在多次饮酒过程中，每个饮酒周期结束时，体内酒精浓度下降，而在下一个饮酒周期开始时，血液中酒精浓度呈上升趋势，这是由于吸收室中酒精浓度突然上升造成的.
六、模型分析
根据本文所建立的模型，下面将会分析并说明实际中遇到的一些问题;
6.1 解释题目中大李遇到的问题
用5.1快速饮酒模型进行解释：
从中午12点到下午6点，
⎪⎩
⎪⎨⎧-==≤≤---) (5963. 4430) , , (058868. 4272) , , (601607. 21828. 021607t t t e e M n t M n B e M n t M n r t
T=6时，错误！未找到引用源。=1451.598371mg / (100 mL)
由于在下午6点未测出酒精含量超标，则错误！未找到引用源。<20 mg / (100 mL)，
17 由此可以估计大李的质量m>67.697kg.之后，设大李再次饮酒的时间为晚上错误！未找到引用源。时刻. 由于此时大李的吸收室和血液中含有残留的酒精. 所以，当t 错误！未找到引用源。时，大李喝酒满足的微分方程为：
⎪⎩⎪⎨⎧≥=-='+=-='000112111
001131) () (), () () () () (), () (t t t B t B t B k t r k t B t r v m t r t r k t r 将已经求v k k k , , , 321的数据带入上式后得： ) (1607. 25963. 44301828. 01828. 01607. 215963. 44305963. 44305963. 44305963. 4430) (t t M t t e M
e M e M e M t B -----++-= 根据上式可得错误！未找到引用源。，与大李在凌晨2点被测出饮酒驾车完全符合. 6.2 喝了三瓶酒或半斤低度白酒后多久才能驾车
（1）快速饮酒状况下：
由5.1的模型可知： ) (5963. 4430) , , (1607. 21828. 0t t e e M
t M n B ---=
已知喝了三瓶酒，则n=3，所以有： ) (2636. 12958) , , 3(1607. 21828. 0t t e e t M B ---=
设在错误！未找到引用源。时刻刚好违反标准，之后，人体血液中酒精浓度先上升后下降. 在错误！未找到引用源。时刻，刚好符合标准:
⎩⎨⎧=>20
) , , 3(20) , , 3(t M B t M B
由于刚饮完酒从错误！未找到引用源。到错误！未找到引用源。时刻，司机不会去驾车，并且错误！未找到引用源。很小，故在错误！未找到引用源。时间内，司机违反标准，得到的数据结果如下（见表二）
表二：快速饮酒时司机质量与恢复安全驾车时间关系表
由表可以看出，在短时间内喝相同量的酒的情况下，质量越大的人，恢复驾车的时间越短，血液中酒精的浓度相对越低.
（2）慢速饮酒状况下：
18 由5.2的模型（假设在两个小时内喝完）可知：
⎪⎩
⎪⎨⎧>-=≤≤-=-----2, 65895. 1652781242. 17456) , , 3(20), (M 71486.12560) , , 3(1607. 21828. 01828. 01607. 2. 0t e e M t M B t e e t M B t t t 设在错误！未找到引用源。时刻刚好违反标准，之后，人体血液中酒精浓度先上升后下降。在错误！未找到引用源。时刻，刚好符合标准:
⎩
⎨⎧=>20) , , 3(20) , , 3(21t M B t M B 由于刚饮完酒从错误！未找到引用源。到错误！未找到引用源。时刻，司机不会去驾车，并且错误！未找到引用源。很小，故在错误！未找到引用源。时间内，司机违反标准，取m 为50,60,70,80,90,100，得到的, 结果如下（见表三）：
表三：慢速饮酒的司机身体质量与恢复驾车时间关系表
观察表三，发现其与表一揭示的规律完全吻合. 另外，通过比较可得到新的结论：喝酒时间越长，恢复驾车的时间越短. 请司机朋友们不要误以为喝酒越快，恢复驾车的时间就越短.
6.3 估计血液中酒精含量在何时最高
（1）快速饮酒状况下：
由5.1的模型可知：
) (5963. 4430) , , (1607. 21828. 0t t e e M
n t M n B ---= 由图一可知，在M n 和一定时，3k 的变化趋势是先上升后下降.
根据数学知识，求) (t B '：
) 1607. 21828. 0(5963. 4430) (1607. 21828. 0t t e e M
n t B ----=' 并令错误！未找到引用源。，即可求出错误！未找到引用源。，血液中酒精的含量在错误！未找到引用源。时刻最高.
取n=3,M分别为50,60,70,80,90,100得表四：
表四：快速饮酒时司机身体质量与血液中酒精最高含量关系表
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从表四中可以看出，在短时间内喝入等量酒的情况下，质量越大的人，血液中酒精质量浓度越低，最大浓度也相对越低. 不同质量的人的血液中酒精质量浓度达到最大值都是在错误！未找到引用源。. 说明在快速饮酒方式下，血液中酒精质量浓度达到最大值的时间是由体内酒精质量浓度决定的. （2）慢速饮酒状况下：
由5.2的模型（假设在两个小时内喝完）可知：
采用上述同样的方法，当n=3,M为50,60,70,80,90,100，得表五：
表五：慢速饮酒时质量与血液中酒精最高含量关系表
由表四和表五比较得出：喝酒时间越长，血液中酒精的质量浓度的最小值越小，达到最大值所用时间越长.
6.4 天天喝酒，能否开车
在此，假设每天都在同一时间饮酒. 考虑到问题的普遍性，假设喝酒人的身体质量为M=70kg。在t S =1h内喝了n 瓶啤酒，且每天只喝一次.
根据5.2可得：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡≥⨯----+-=≤≤-=------1, ) 1(173193. 95) 1(824583. 4735100
. 183) (10), (1345. 14) (1828. 01828. 01828. 01607. 21828. 01607. 2t e e e ne t B t e e n t B t t t t
t t 显然，恢复驾车的等待时间t 与n 有关，恢复驾车时，分别取n=0.5,1,1.5,2,2.5,3得到n 取不同值时，血液中酒精浓度的变化曲线由图五给出，恢复驾车的所需时间由表五给出.
20 表六：不同饮酒量与血液中酒精浓度变化关系表
图五：不同饮酒量与血液中酒精浓度变化关系图
从图五中可以看出，在t =14 h 时，血液中酒精含量已经很低(≤ 7.301 66 mg/mL) ，对第2 天同一时刻喝酒基本没有影响，这说明驾车人可以每天都喝酒. 从表五中可以看出，喝半瓶啤酒不影响开车，如果喝酒5 h 后需要开车，只能喝1 瓶，10 h 后开车，则可以喝3 瓶. 这对于司机具有非常现实的指导意义.
6.5 给司机的忠告
致广大的司机朋友们的一封信
司机朋友们适量饮酒可以促进血液循环，对身体有一定的好处，但是过量饮酒则会不仅对身体造成危害，还给社会带来不安全隐患. 所以对于喜欢饮酒的司机朋友们，饮酒量和时间关系控制是驾车必不可少的条件，让体内的酒精浓度在符合国家标准情况下安全驾驶.
随着社会的进步，经济的发展，人们的生活条件也越来越富裕. 不仅追求生活质量的
21 提高，而且越来越关注身体的健康和保养. 酒是餐桌上必不可少的一件物品. 它与人们的日常生活息息相关. 人在饮酒之后，酒对人脑的作用与人体血液中酒精浓度有着密切的关系，它将影响人体思想、行为，少喝固然能促进消化，有益身心健康. 但是，多喝的后果是不堪设想的：伤及他人，对人体大脑造成伤害，更可怕的是在交通事故中它所扮演的恶性角色。据统计，酒后驾车发生事故的比率为没有饮酒情况下的16倍，几率高达27％. 由此可以看出，合理饮酒至关重要.
在此，给想要饮酒驾车的司机提出一些建议和忠告：
（1）为了自身的健康，要安全饮酒。安全性饮纯酒量每日为50ml 以内，有害量是每日100ml ，危险量是每日150ml 以上.
（2）如果司机想每天即饮酒又驾车，而又不违规，请司机一定要记住每天涉入的酒精量不要超过20000毫克.
（3）一次性饮酒的酒精量越大，到达标时的时间会越长，所以司机等待时间的长短应根据饮酒量的多少而定。比如说一次饮一瓶啤酒，大约6个小时后酒精含量就可达标；一次性喝2瓶啤酒，大概要等9.5小时后才能达标；而一次性喝3瓶啤酒，则大概要等12小时后才能达标.
（4）连续饮酒次数越多，每次间隔时间应越长. 以司机大李为例，第一次饮啤酒一瓶，过六个小时达标，但第二次饮同样多的酒，同样再过六个，酒精含量增加到27毫克/百毫升，要使第二次饮酒后，不超标，则至少应在7.5小时后再驾车.
当然，司机为了自身及他人的生命安全，应该尽量少饮酒，并在饮酒后较短的时间内，尽量避免驾车. 在现代生活中，生活节奏日益紧张，想得到一份精神的解脱和轻松，小酌一杯，倒也无妨. 切记凡是要有个度.
七、模型评价
本文建立的模型具有以下三个优点和四个不足的地方.
7.1模型的优点
（1）. 本模型从三种情况分别建立模型，模型稳定性高，适用性强。模型简单明了，易于理解，给实际生活带来便利.
（2）. 运用MATLAB 软件，准确求解，在运用MATLAB 进行数据拟合时，得到了较理想化的曲线。在表示喝三瓶啤酒的人什么时候是饮酒驾车，什么时候是醉酒驾车时，运用MATLAB 准确的做出了函数据图像，使结果一目了然.
（3）. 本模型计算步骤清晰，从问题出发，分析了应该考虑的各种情况，建立了一般的数学模型，并进行实例验证，从而证明我们建立的数学模型可以较好的解决实际问题，可靠性较高.
22 7.2模型的缺点
（1）. 由于模型参数仅是依靠题中给出的一组数据拟合求解得出，可能有偏差.
（2）. 模型为使计算简便，使所得的结果更理想化，忽略了一些次要的因素. 如：酒进入身体后随着血液流动，人体对酒精的吸收率是随时间变化的，而本 模型是在吸收率恒定的情况下，进行求解的. 对于这些问题，由于时间关系本模型还未能更好的研究，有待以后的改进和完善.
（3）. 在建立模型中忽略了很多会影响酒精浓度的因素，比如没有考虑到每个人自身的体质酒精在体内散发速度也不同，所以解答出的结果具有普遍性，对某些司机可能不适用.
（4）. 如果采用三室模型数据会更加精确.
八、模型推广
第一，由于在上述模型中没有考虑到一次性饮酒过量而致人死亡的情况. 可以根据人体承受酒精浓度的上限来确定一次性饮酒不能超过的量.
第二，可以考虑离散时间点的酒精在人体的叠加情况，这样可以根据人体承受酒精浓度的上限来确定饮酒频度的上限来指出人们饮酒的时间间隔来确保生命健康.
第三，为了确保司机开车安全，根据国家相关部门规定的司机人体酒精含量，建立离散点上人体浓度模型和在一次饮酒量相同的情况下，给出司机饮酒最短间隔.
第四，在上述基础上，按照酒精对司机开车的上限和对人体生命健康的上限，建立离散时间点上不定量的统计模型. 使得横向时间上的人体酒精含量叠加和纵向人体酒精含量的上限一起约束. 为司机和百姓的饮酒提供可靠.
九、参考文献
[1] 万福永·数学实验教程[J]北京·科学出版社.2006
[2] 姜启源，谢金星，叶俊，数学建模[J]北京. 高等教育出版社.2003.8
[3] 杨启帆 方道元，数学建模[J]杭州. 浙江大学出版社.1999年
[4] 王琦，《MATLAB 基础与应用实例集粹》，北京，人民邮电出版社出版发行，2007.11
[5] 姜世宏，《MATLAB 语言与数学实验》，北京，科学出版社，2007.3
十、附录
附录一：
体重约70kg 的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：
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