山重水复疑无路柳暗花明又一村
——高考导数压轴题的破解
大同县一中 田有利
应用举例
1.(2010年全国新课标理) 设函数2() 1x f x e x ax =---。
（1） 若0a =，求() f x 的单调区间；
（2） 若当0x ≥时() 0f x ≥，求a 的取值范围
解:（II ）当0x =时，() 0f x =，对任意实数a, 均在() 0f x ≥；
当0x >时，() 0f x ≥等价于21
x x a x --≤
令()21x x g x x --=(x>0),则322() x x
x x g x x -++'=，令()()220x x h x x x x e e =-++>，则()1x x
h x x e e '=-+，()0x h x x e ''=>， 知()h x '在()0, +∞上为增函数，()()00h x h ''>=；知()h x 在()0, +∞上为增函数，
()()00h x h >=；()0g x '∴>，g(x)在()0, +∞上为增函数。 由洛必达法则知，200011222lim lim lim x x x x x x x x x
+++→→→--===， 故12a ≤ 综上，知a 的取值范围为1, 2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
。 2．（2011年全国新课标理）已知函数ln () 1a x b f x x x =++，曲线() y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型. 这类题目容易让学生想到用分离参数的方法，一部分题用这种方法很凑效，另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路——分类讨论和假设反证的方法. 虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌
握起来非常困难. 研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了00”型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则.
230x y +-=。
（Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln () 1x k f x x x
>
+-，求k 的取值范围。 解：（II ）由题设可得，当0, 1x x >≠时，k<22ln 11x x x
+-恒成立。 令g (x)= 22ln 11x x x +-(0, 1x x >≠), 则()()()22221ln 121x x x g x x +-+'=⋅-， 再令()()221ln 1h x x x x =+-+(0, 1x x >≠) ，则()12ln h x x x x x '=+-，()212ln 1h x x x ''=+-，易知()212ln 1h x x x
''=+-在()0, +∞上为增函数，且()10h ''=；故当(0,1)x ∈时，()0h x ''<，当x ∈（1，+∞）时，()0h x ''>；
∴()h x '在()0,1上为减函数，在()1, +∞上为增函数；故()h x '>()1h '=0
∴()h x 在()0, +∞上为增函数
()1h =0
∴当(0,1)x ∈时，()0h x <，当x ∈（1，+∞）时，()0h x >
∴当(0,1)x ∈时，()0g x '<，当x ∈（1，+∞）时，()0g x '>
∴()g x 在()0,1上为减函数，在()1, +∞上为增函数
由洛必达法则知()2111
ln 1ln 12121210221lim lim lim x x x x x x g x x x →→→+⎛⎫=+=+=⨯-+= ⎪--⎝⎭ ∴0k ≤，即k 的取值范围为（-∞，0]
3.2008全国2理科
设函数sin () 2cos x f x x =+． （Ⅰ）求() f x 的单调区间； （Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有() f x ax ≤，求a 的取值范围．
相关题型练习 4. （21）（本小题满分12分）
已知函数b ax x x f ++=2) (，) () (d cx e x g x
+=若曲线) (x f y =和曲线) (x g y =都过点) 2, 0(P ，且在点P 处有相同的切线24+=x y . （Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值；
（Ⅱ）若x ≥－2时，) () (x kg x f ≤，求k 的取值范围. （新课标全国12013年） 5.2006年全国2理
解：（Ⅰ）略 （Ⅱ）应用洛必达法则和导数 sin () 2cos x f x ax x =≤+ 若0x =，则a R ∈； 若0x >，则sin 2cos x ax x
≤+等价于sin (2cos ) x a x x ≥+，即sin () (2cos ) x g x x x =+ 则222cos 2sin sin cos '() (2cos )
x x x x x x g x x x --+=+. 记() 2cos 2sin sin cos h x x x x x x x =--+，
2'() 2cos 2sin 2cos cos 21
2sin cos 212sin 2sin 2sin (sin) h x x x x x x x x x x x x x x x =---+=--+=-=- 因此，当(0,) x π∈时，'() 0h x <，() h x 在(0,) π上单调递减，且(0)0h =，故' () 0g x <，所以() g x 在(0,) π上单调递减，
而000sin cos 1lim () lim lim (2cos ) 2+cossin 3
x x x x x g x x x x x x →→→===+-. 另一方面，当[, ) x π∈+∞时，sin 111() (2cos ) 3x g x x x x π=≤≤<+，因此13a ≥. 设函数f (x ) ＝(x ＋1)ln(x ＋1) ，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，求实数a 的取值范围．
6.2006全国1理
7. 2007全国1理
8.2010全国大纲理
已知函数()11ax x f x e x -+=-. （Ⅰ）设0a >，讨论()y f x =的单调性； （Ⅱ）若对任意
()0,1x ∈恒有()1f x >，求a 的取值范围. 设函数() e e x x f x -=-． （Ⅰ）证明：() f x 的导数() 2f x '≥； （Ⅱ）若对所有0x ≥都有() f x ax ≥，求a 的取值范围． 设函数() 1x f x e -=-. （Ⅰ）证明：当1x >-时，() 1x f x x ≥+； （Ⅱ）设当0x ≥时，() 1x f x ax ≤+，求a 的取值范围.
山重水复疑无路柳暗花明又一村
——高考导数压轴题的破解
大同县一中 田有利
应用举例
1.(2010年全国新课标理) 设函数2() 1x f x e x ax =---。
（1） 若0a =，求() f x 的单调区间；
（2） 若当0x ≥时() 0f x ≥，求a 的取值范围
解:（II ）当0x =时，() 0f x =，对任意实数a, 均在() 0f x ≥；
当0x >时，() 0f x ≥等价于21
x x a x --≤
令()21x x g x x --=(x>0),则322() x x
x x g x x -++'=，令()()220x x h x x x x e e =-++>，则()1x x
h x x e e '=-+，()0x h x x e ''=>， 知()h x '在()0, +∞上为增函数，()()00h x h ''>=；知()h x 在()0, +∞上为增函数，
()()00h x h >=；()0g x '∴>，g(x)在()0, +∞上为增函数。 由洛必达法则知，200011222lim lim lim x x x x x x x x x
+++→→→--===， 故12a ≤ 综上，知a 的取值范围为1, 2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
。 2．（2011年全国新课标理）已知函数ln () 1a x b f x x x =++，曲线() y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型. 这类题目容易让学生想到用分离参数的方法，一部分题用这种方法很凑效，另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路——分类讨论和假设反证的方法. 虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌
握起来非常困难. 研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了00”型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则.
230x y +-=。
（Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln () 1x k f x x x
>
+-，求k 的取值范围。 解：（II ）由题设可得，当0, 1x x >≠时，k<22ln 11x x x
+-恒成立。 令g (x)= 22ln 11x x x +-(0, 1x x >≠), 则()()()22221ln 121x x x g x x +-+'=⋅-， 再令()()221ln 1h x x x x =+-+(0, 1x x >≠) ，则()12ln h x x x x x '=+-，()212ln 1h x x x ''=+-，易知()212ln 1h x x x
''=+-在()0, +∞上为增函数，且()10h ''=；故当(0,1)x ∈时，()0h x ''<，当x ∈（1，+∞）时，()0h x ''>；
∴()h x '在()0,1上为减函数，在()1, +∞上为增函数；故()h x '>()1h '=0
∴()h x 在()0, +∞上为增函数
()1h =0
∴当(0,1)x ∈时，()0h x <，当x ∈（1，+∞）时，()0h x >
∴当(0,1)x ∈时，()0g x '<，当x ∈（1，+∞）时，()0g x '>
∴()g x 在()0,1上为减函数，在()1, +∞上为增函数
由洛必达法则知()2111
ln 1ln 12121210221lim lim lim x x x x x x g x x x →→→+⎛⎫=+=+=⨯-+= ⎪--⎝⎭ ∴0k ≤，即k 的取值范围为（-∞，0]
3.2008全国2理科
设函数sin () 2cos x f x x =+． （Ⅰ）求() f x 的单调区间； （Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有() f x ax ≤，求a 的取值范围．
相关题型练习 4. （21）（本小题满分12分）
已知函数b ax x x f ++=2) (，) () (d cx e x g x
+=若曲线) (x f y =和曲线) (x g y =都过点) 2, 0(P ，且在点P 处有相同的切线24+=x y . （Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值；
（Ⅱ）若x ≥－2时，) () (x kg x f ≤，求k 的取值范围. （新课标全国12013年） 5.2006年全国2理
解：（Ⅰ）略 （Ⅱ）应用洛必达法则和导数 sin () 2cos x f x ax x =≤+ 若0x =，则a R ∈； 若0x >，则sin 2cos x ax x
≤+等价于sin (2cos ) x a x x ≥+，即sin () (2cos ) x g x x x =+ 则222cos 2sin sin cos '() (2cos )
x x x x x x g x x x --+=+. 记() 2cos 2sin sin cos h x x x x x x x =--+，
2'() 2cos 2sin 2cos cos 21
2sin cos 212sin 2sin 2sin (sin) h x x x x x x x x x x x x x x x =---+=--+=-=- 因此，当(0,) x π∈时，'() 0h x <，() h x 在(0,) π上单调递减，且(0)0h =，故' () 0g x <，所以() g x 在(0,) π上单调递减，
而000sin cos 1lim () lim lim (2cos ) 2+cossin 3
x x x x x g x x x x x x →→→===+-. 另一方面，当[, ) x π∈+∞时，sin 111() (2cos ) 3x g x x x x π=≤≤<+，因此13a ≥. 设函数f (x ) ＝(x ＋1)ln(x ＋1) ，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，求实数a 的取值范围．
6.2006全国1理
7. 2007全国1理
8.2010全国大纲理
已知函数()11ax x f x e x -+=-. （Ⅰ）设0a >，讨论()y f x =的单调性； （Ⅱ）若对任意
()0,1x ∈恒有()1f x >，求a 的取值范围. 设函数() e e x x f x -=-． （Ⅰ）证明：() f x 的导数() 2f x '≥； （Ⅱ）若对所有0x ≥都有() f x ax ≥，求a 的取值范围． 设函数() 1x f x e -=-. （Ⅰ）证明：当1x >-时，() 1x f x x ≥+； （Ⅱ）设当0x ≥时，() 1x f x ax ≤+，求a 的取值范围.