1 高中数学论文
山重水复疑无路，柳暗花明又一村
——对一个数量积性质的新认识
【摘 要】：教学活动要遵循内在规律，只有当一切外在事实（知识）通过教师的主导作用，最后被主体（学生）认识之后，这外在东西才会为主体真正占有，这种转化只有在参与实践中才能体会并重新构建、形成知识体系。我们的教材中的好多知识表面上是孤立的，若我们的的教师在引领学生认知这些内容的同时，有“意识”的揭示这种“知识链”，内化我们学生的理解，让学生对知识的构建“水到渠成”！这不失为一种有效教学的好途径。
【关键词】：数量积 向量 角度 距离
作为新课程改革，高中数学教材的两个显著变化就是“向量和导数”的引入。其目的也很明确：为研究函数、空间图形，提供新的研究手段，即充分体现它们的工具性。但这种“工具性”，只有在深刻理解的基础上才能用好，而要想用活，这又需要我们在实践中不断“开发”新的认识，丰富知识网络，形成较完善的“认知模块”、“知识体系”。例如全日制普通高级中学教科书《数学·第二册（下B ）》P 33中，关于空间向量的数量积有这样三条性质：
（1）><=⋅, cos ||，（2）0=⋅⇔⊥，（3）⋅=2||。
作为“工具性”，性质（2）（3）比较明显，会立即得到充分的应用。可是对于性质
（1），当时，在上新授课时我总认为：这条性质没有什么“本质上”的用处，有点像“房间里的摆设”——配角。但是随着时间的推移，笔者发现了她的奥妙之处：在后继的有关空间问题中的“三大角度”和“三大基本距离”的坐标法的研究中有着奇妙无穷的用途，并带来意想不到的“知识链”反应，极大地丰富了关于空间向量的“数量积”这一运算的“认知模块”的内涵。本文便梳理和佐证这一认知，以飨读者。
（一）性质的产生与内含 已知向量a AB =和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，
作点A 在l 上的射影' A ，作点B 在l 上的射影' B 则' ' B A 叫向量在轴l 上或在方
向上的正射影，简称射影。 可以证明得，B A ⋅>=<=, cos ||' ' （证明略，图如下所示。）
此性质的内含理解有四点：
2 ①结果是一个数量（本身含正负号）；②其正负号由向量与所成角的范围决定；③加上绝对值|||' ' |B A ⋅=便是一条线段长度（这里|||' ' |、
B A 刚好组成一个直角三角形的两条直角边）；④可以推广为求一条线段在另一条直线上的正射影（此线段所在直线与已知直线的位置关系可以异面直线）。
（二）性质的“知识链”
对教材引进空间向量的“坐标法”来解决空间中“三大角”问题，我们的学生可以说是欣喜若狂啊，因为学生觉得这种方法好！可操作性强！（只要能建系，有坐标就行！）但在实际应用中，学生觉得这些结论不易理解，加上这些结论只能逐步形成和完善，靠死记硬背吧，今天记了明天又忘了！等到用时，仍是“生硬、呆板”，甚至张冠李戴。如何突破这一问题？我认为其根本原因是：在学生的认知结构里，这一性质未能如愿地形成“知识链”。那么，这一性质是怎样与相关问题产生“对接或联系”的呢？
（1）它是空间三大角（即线线角、线面角、二面角的平面角）用向量法求解的“对接点”。
1．1线线角])2, 0[(π
αα∈的求法的新认识：
我们把这两条线赋予恰当的两个向量，问题就化归为两个向量的夹角（两个向量所成的角的范围为], 0[π），即||
|, cos |cos ==><=α, 我们能否加以重新认识这个公式呢？如图，
||||cos OB OB ==α，此时OB 1可以看作是与方向上的单位向量的数量积(e e b =
⋅其中，这就是由数量积这条性质滋生而成的；故此结论重新可以理解为：
1
B 1
1
3 |
|cos =α（这里刚好满足三角函数中余弦的定义：邻边比斜边）。 1．2线面角])2, 0[(π
θθ∈的求法的新认识：
|, cos |sin ><=n PA θ=（其中为平面α的一个法向量），此结论重新可以理解为：||||sin PA OP ==θ此时OP 又可以看作是在上的投影，即与方向上的单位向量的数量积⋅，(=
其中，故||sin =θ（这里刚好满足三角函数中正弦的定义：对边比斜边）。 1．3二面角的平面角]), 0[(πθθ∈的求法的新认识：
|||cos |=θ=21（其中21n n 是两二面角所在平面的各一个法向量）此结论重新可以理解为：2|2|1|
1||cos |n n n n ==θ（这里刚好满足三角函数中余弦的定义：邻边比斜边）。
★三大角的统一理解：
||cos b =
α、||sin PA =θ2|2|1|1||cos |n n ==θ、
4 其从上述梳理完全可以看出其本质特征：这里的“空间角”的求法，完全与直角三角形中的三角函数的“正弦或余弦的定义”发生了对接——对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影，即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数量积，而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角形的构图，学生完全可以达到“系统化”和“自主化”，因为直角三角形中的三角函数定义，他们太熟悉了！即将知识的“生长点”建立在学生认知水平的“最近发展区”，那学习就会水到渠成！
（2）它又是空间三大距离（即点线距、点面距、异面直线间距离）用向量法求解的“联系点”。
空间中有七大距离（除球面上两点间的距离外）基本上可转化为点点距、点线距、点面距，而点线距和点面距又是重中之重！另外两异面直线间的距离，高考考纲中明确要求：对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离．．．．．．．．．
。因此对异面直线间的距离的考查有着特殊的身份。教材按排中引进了向量法来解决距离问题，也给问题的解决带来新的活力！不用作出（或找出）所求的距离了。
2．1点面距求法的新认识：
||sin ||||d ====θ（其中为平面α的一个法向
量），此结论重新可以理解为： ||d =，即PA 在n 上的投影，即与n 方向上的单位向量e 的数量积(=⋅其中。
2．2点线距求法的新认识：
1）新认识之一：
如图，若存在有一条与l 相交的直线时，就可以先求出由这两条相交直线确定的平面的一个法向量，则点P 到l 的距离||PA d =。 2）新认识之二：
若不存在有一条与l 相交的直线时，
我们可以先取l 上的一个向量n ，再利用
P l O A
5 2||2||2||OA PA PO -=来解，即：2||2||2d -=, 而数量ＯＢ可以理解为PA 在l 上的向量的投影，也即为：||||PA OA =。
2．3异面直线间距离求法的新认识：
从这几年的高考《考纲说明》观察，我们不难发现，对异面直线间距离的考查本意不能太难，但若出现难一点的考题，命题者又能自圆其说的新情况。实际上，这种自圆其说法归根到底在于高考考纲中的说法：只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的．．．．．．．．距离．．
。那也就是说，在不要作出公垂线（也许学生作不出！）的情况下，也可以求出它们的距离的！那就是用向量法！
如图所示：若直线l 1与直线l 2是两异面直线，求两异面直线的距离。
略解：在两直线上分别任取两点A 、C 、B 、D ，构造三个向量, , ，记与两直线的公垂线共线的向量为, 则由00=⋅=⋅与, 得, 则它们的距离就可以理解为：在上的投影的绝对值，即： ||d ⋅
=。 ★三大距离的统一理解: ||d =（点面距）、 ||d =（异面距）、||d =（点线距之一）、 2||2||2d -=且||||=（点线距之二）、
其本质特征是：一个向量在其所求的距离所在直线的一个向量上的投影，也即数量积此性质的直接应用。
由上述的剖析过程不难再看出：空间中的三大角与三大基本距离的计算，都隐藏于这个“特定”的数量积的性质之中，体现在这个公式结构的“统一美”之中，把问题的本质揭示得“淋漓尽致”，而又不失自然！这给“立体几何” 中向量的工具性的体现，增色了几分美感与统一感！
6 （三）性质的应用
例1、（2005年山东省（理科）高考第20题）
如图，已知长方体1111, ABCD A BC D -12, 1, AB AA == 直线BD 与平面11AAB B 所成的角为30︒，AE 垂直BD 于 E ，F 为11A B 的中点. （I ）求异面直线AE 与BF 所成的角； （II ）求平面BDF 与平面1AA B 所成的二面角；
（III ）求点A 到平面BDF 的距离. 解：在长方体1111ABCD A BC D -中，
以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴建立如图示空间直角坐标系；
由已知12, 1, A B A A ==可得(0, 0, 0) , (2, A B ，
(1,0,1)F ，又AD ⊥平面11AAB B ，从而
BD 与平面11AAB B 所成的角为30DBA ∠=︒，又2AB =，AE BD ⊥
，1, AE AD ==
，从而易得1, 2E D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（I
）因为()1, , 1,0,122AE BF ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭
所以, cos >=<422
1
-=-
=，易知异面直线AE BF 、
所成的角为arccos 4 （II ） 易知平面1AA B 的一个法向量(0,1,0) m = ， 设(, , ) n x y z = 是平面B D F 的一个法向量
，(BD =- 由
1
7 00n BF n BF n BD n BD ⎧⎧⊥⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⋅=⎪⎪⎩⎩
0203x z x y -+=⎧⎪⇒⎨-=⎪
⎩x z y =⎧⎪⇒=
即()
n = 所以5
, cos =>=< 即平面BDF 与平面1AA B
所成的二面角的大小（锐角）为 （III ）点A 到平面BDF 的距离，即AB 在平面BDF 的法向量n 上的投影的绝对值，所以距离||d ⋅=
=5AB n n ⋅= A 到平面BDF
例2、（2005年重庆（理科）高考第20题）
如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E
为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1，已知AB=2，
BB 1=2，BC=1，∠BCC 1=3
π，求： （Ⅰ）异面直线AB 与EB 1的距离；
（Ⅱ）二面角A —EB 1—A 1的平面角的正切值.
解：（I ）以B 为原点，1BB 、分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系. 由于BC=1，BB 1=2，AB=2，∠BCC 1=3
π，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中有 B （0，0，0），A （0，0，2），B 1（0，2，0），A 1（0，2，2）
) 0, 23, 2(), 0, 21, 2(1C C -，设), 0, , 2
3(a E 即
得由, 01, 1=⋅⊥EB EA EB EA , 4
322) 2(43) 0, 2, 23() 2, , 23(0+-=-+=--⋅--=a a a a a
a
8 , 0) 23)(21(=--a a 得), (2321舍去或即==a a ) 0, 2
1, 23(E 故； ) 2, 2
3, 2(1), 2, 0, 0(--==A 所以都垂直与所在的直线与设E B AB z y x 1) , , (=， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
10A 得，) 0, 1, (=（令y=1），故|1|AB d ==1 （II ）由已知有, , 1111EB A B EB ⊥⊥故二面角A —EB 1—A 1的两个半平面的法向量为A B 与11。), 2, 2
1, 2(), 2, 0, 0(11--===A B 因 , 32
1111cos ===A B A B EA θ故22tan =θ所以。 通过上述几个高考题的分析，我们不难看出：立体几何中的几何法的“难在找（或作）所求的角度或距离”, 通过这个数量积的性质的转化（方法的转化与知识之间的转化），其“难”渐渐地溶解于“转换与化归”之中及学生的细心地“计算”之中，从而也焕发了数量积这条性质的奥妙之处，也就更体现了“向量”这个工具在立体几何中应用的优越性、工具性。因为”程序化”的计算使我们的学生的“信心”倍增! 同时让我们的学生也懂得了“知其所以然”，再也不用为记这一个“好结论”而烦恼了！
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1 高中数学论文
山重水复疑无路，柳暗花明又一村
——对一个数量积性质的新认识
【摘 要】：教学活动要遵循内在规律，只有当一切外在事实（知识）通过教师的主导作用，最后被主体（学生）认识之后，这外在东西才会为主体真正占有，这种转化只有在参与实践中才能体会并重新构建、形成知识体系。我们的教材中的好多知识表面上是孤立的，若我们的的教师在引领学生认知这些内容的同时，有“意识”的揭示这种“知识链”，内化我们学生的理解，让学生对知识的构建“水到渠成”！这不失为一种有效教学的好途径。
【关键词】：数量积 向量 角度 距离
作为新课程改革，高中数学教材的两个显著变化就是“向量和导数”的引入。其目的也很明确：为研究函数、空间图形，提供新的研究手段，即充分体现它们的工具性。但这种“工具性”，只有在深刻理解的基础上才能用好，而要想用活，这又需要我们在实践中不断“开发”新的认识，丰富知识网络，形成较完善的“认知模块”、“知识体系”。例如全日制普通高级中学教科书《数学·第二册（下B ）》P 33中，关于空间向量的数量积有这样三条性质：
（1）><=⋅, cos ||，（2）0=⋅⇔⊥，（3）⋅=2||。
作为“工具性”，性质（2）（3）比较明显，会立即得到充分的应用。可是对于性质
（1），当时，在上新授课时我总认为：这条性质没有什么“本质上”的用处，有点像“房间里的摆设”——配角。但是随着时间的推移，笔者发现了她的奥妙之处：在后继的有关空间问题中的“三大角度”和“三大基本距离”的坐标法的研究中有着奇妙无穷的用途，并带来意想不到的“知识链”反应，极大地丰富了关于空间向量的“数量积”这一运算的“认知模块”的内涵。本文便梳理和佐证这一认知，以飨读者。
（一）性质的产生与内含 已知向量a AB =和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，
作点A 在l 上的射影' A ，作点B 在l 上的射影' B 则' ' B A 叫向量在轴l 上或在方
向上的正射影，简称射影。 可以证明得，B A ⋅>=<=, cos ||' ' （证明略，图如下所示。）
此性质的内含理解有四点：
2 ①结果是一个数量（本身含正负号）；②其正负号由向量与所成角的范围决定；③加上绝对值|||' ' |B A ⋅=便是一条线段长度（这里|||' ' |、
B A 刚好组成一个直角三角形的两条直角边）；④可以推广为求一条线段在另一条直线上的正射影（此线段所在直线与已知直线的位置关系可以异面直线）。
（二）性质的“知识链”
对教材引进空间向量的“坐标法”来解决空间中“三大角”问题，我们的学生可以说是欣喜若狂啊，因为学生觉得这种方法好！可操作性强！（只要能建系，有坐标就行！）但在实际应用中，学生觉得这些结论不易理解，加上这些结论只能逐步形成和完善，靠死记硬背吧，今天记了明天又忘了！等到用时，仍是“生硬、呆板”，甚至张冠李戴。如何突破这一问题？我认为其根本原因是：在学生的认知结构里，这一性质未能如愿地形成“知识链”。那么，这一性质是怎样与相关问题产生“对接或联系”的呢？
（1）它是空间三大角（即线线角、线面角、二面角的平面角）用向量法求解的“对接点”。
1．1线线角])2, 0[(π
αα∈的求法的新认识：
我们把这两条线赋予恰当的两个向量，问题就化归为两个向量的夹角（两个向量所成的角的范围为], 0[π），即||
|, cos |cos ==><=α, 我们能否加以重新认识这个公式呢？如图，
||||cos OB OB ==α，此时OB 1可以看作是与方向上的单位向量的数量积(e e b =
⋅其中，这就是由数量积这条性质滋生而成的；故此结论重新可以理解为：
1
B 1
1
3 |
|cos =α（这里刚好满足三角函数中余弦的定义：邻边比斜边）。 1．2线面角])2, 0[(π
θθ∈的求法的新认识：
|, cos |sin ><=n PA θ=（其中为平面α的一个法向量），此结论重新可以理解为：||||sin PA OP ==θ此时OP 又可以看作是在上的投影，即与方向上的单位向量的数量积⋅，(=
其中，故||sin =θ（这里刚好满足三角函数中正弦的定义：对边比斜边）。 1．3二面角的平面角]), 0[(πθθ∈的求法的新认识：
|||cos |=θ=21（其中21n n 是两二面角所在平面的各一个法向量）此结论重新可以理解为：2|2|1|
1||cos |n n n n ==θ（这里刚好满足三角函数中余弦的定义：邻边比斜边）。
★三大角的统一理解：
||cos b =
α、||sin PA =θ2|2|1|1||cos |n n ==θ、
4 其从上述梳理完全可以看出其本质特征：这里的“空间角”的求法，完全与直角三角形中的三角函数的“正弦或余弦的定义”发生了对接——对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影，即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数量积，而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角形的构图，学生完全可以达到“系统化”和“自主化”，因为直角三角形中的三角函数定义，他们太熟悉了！即将知识的“生长点”建立在学生认知水平的“最近发展区”，那学习就会水到渠成！
（2）它又是空间三大距离（即点线距、点面距、异面直线间距离）用向量法求解的“联系点”。
空间中有七大距离（除球面上两点间的距离外）基本上可转化为点点距、点线距、点面距，而点线距和点面距又是重中之重！另外两异面直线间的距离，高考考纲中明确要求：对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离．．．．．．．．．
。因此对异面直线间的距离的考查有着特殊的身份。教材按排中引进了向量法来解决距离问题，也给问题的解决带来新的活力！不用作出（或找出）所求的距离了。
2．1点面距求法的新认识：
||sin ||||d ====θ（其中为平面α的一个法向
量），此结论重新可以理解为： ||d =，即PA 在n 上的投影，即与n 方向上的单位向量e 的数量积(=⋅其中。
2．2点线距求法的新认识：
1）新认识之一：
如图，若存在有一条与l 相交的直线时，就可以先求出由这两条相交直线确定的平面的一个法向量，则点P 到l 的距离||PA d =。 2）新认识之二：
若不存在有一条与l 相交的直线时，
我们可以先取l 上的一个向量n ，再利用
P l O A
5 2||2||2||OA PA PO -=来解，即：2||2||2d -=, 而数量ＯＢ可以理解为PA 在l 上的向量的投影，也即为：||||PA OA =。
2．3异面直线间距离求法的新认识：
从这几年的高考《考纲说明》观察，我们不难发现，对异面直线间距离的考查本意不能太难，但若出现难一点的考题，命题者又能自圆其说的新情况。实际上，这种自圆其说法归根到底在于高考考纲中的说法：只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的．．．．．．．．距离．．
。那也就是说，在不要作出公垂线（也许学生作不出！）的情况下，也可以求出它们的距离的！那就是用向量法！
如图所示：若直线l 1与直线l 2是两异面直线，求两异面直线的距离。
略解：在两直线上分别任取两点A 、C 、B 、D ，构造三个向量, , ，记与两直线的公垂线共线的向量为, 则由00=⋅=⋅与, 得, 则它们的距离就可以理解为：在上的投影的绝对值，即： ||d ⋅
=。 ★三大距离的统一理解: ||d =（点面距）、 ||d =（异面距）、||d =（点线距之一）、 2||2||2d -=且||||=（点线距之二）、
其本质特征是：一个向量在其所求的距离所在直线的一个向量上的投影，也即数量积此性质的直接应用。
由上述的剖析过程不难再看出：空间中的三大角与三大基本距离的计算，都隐藏于这个“特定”的数量积的性质之中，体现在这个公式结构的“统一美”之中，把问题的本质揭示得“淋漓尽致”，而又不失自然！这给“立体几何” 中向量的工具性的体现，增色了几分美感与统一感！
6 （三）性质的应用
例1、（2005年山东省（理科）高考第20题）
如图，已知长方体1111, ABCD A BC D -12, 1, AB AA == 直线BD 与平面11AAB B 所成的角为30︒，AE 垂直BD 于 E ，F 为11A B 的中点. （I ）求异面直线AE 与BF 所成的角； （II ）求平面BDF 与平面1AA B 所成的二面角；
（III ）求点A 到平面BDF 的距离. 解：在长方体1111ABCD A BC D -中，
以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴建立如图示空间直角坐标系；
由已知12, 1, A B A A ==可得(0, 0, 0) , (2, A B ，
(1,0,1)F ，又AD ⊥平面11AAB B ，从而
BD 与平面11AAB B 所成的角为30DBA ∠=︒，又2AB =，AE BD ⊥
，1, AE AD ==
，从而易得1, 2E D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（I
）因为()1, , 1,0,122AE BF ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭
所以, cos >=<422
1
-=-
=，易知异面直线AE BF 、
所成的角为arccos 4 （II ） 易知平面1AA B 的一个法向量(0,1,0) m = ， 设(, , ) n x y z = 是平面B D F 的一个法向量
，(BD =- 由
1
7 00n BF n BF n BD n BD ⎧⎧⊥⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⋅=⎪⎪⎩⎩
0203x z x y -+=⎧⎪⇒⎨-=⎪
⎩x z y =⎧⎪⇒=
即()
n = 所以5
, cos =>=< 即平面BDF 与平面1AA B
所成的二面角的大小（锐角）为 （III ）点A 到平面BDF 的距离，即AB 在平面BDF 的法向量n 上的投影的绝对值，所以距离||d ⋅=
=5AB n n ⋅= A 到平面BDF
例2、（2005年重庆（理科）高考第20题）
如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E
为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1，已知AB=2，
BB 1=2，BC=1，∠BCC 1=3
π，求： （Ⅰ）异面直线AB 与EB 1的距离；
（Ⅱ）二面角A —EB 1—A 1的平面角的正切值.
解：（I ）以B 为原点，1BB 、分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系. 由于BC=1，BB 1=2，AB=2，∠BCC 1=3
π，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中有 B （0，0，0），A （0，0，2），B 1（0，2，0），A 1（0，2，2）
) 0, 23, 2(), 0, 21, 2(1C C -，设), 0, , 2
3(a E 即
得由, 01, 1=⋅⊥EB EA EB EA , 4
322) 2(43) 0, 2, 23() 2, , 23(0+-=-+=--⋅--=a a a a a
a
8 , 0) 23)(21(=--a a 得), (2321舍去或即==a a ) 0, 2
1, 23(E 故； ) 2, 2
3, 2(1), 2, 0, 0(--==A 所以都垂直与所在的直线与设E B AB z y x 1) , , (=， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
10A 得，) 0, 1, (=（令y=1），故|1|AB d ==1 （II ）由已知有, , 1111EB A B EB ⊥⊥故二面角A —EB 1—A 1的两个半平面的法向量为A B 与11。), 2, 2
1, 2(), 2, 0, 0(11--===A B 因 , 32
1111cos ===A B A B EA θ故22tan =θ所以。 通过上述几个高考题的分析，我们不难看出：立体几何中的几何法的“难在找（或作）所求的角度或距离”, 通过这个数量积的性质的转化（方法的转化与知识之间的转化），其“难”渐渐地溶解于“转换与化归”之中及学生的细心地“计算”之中，从而也焕发了数量积这条性质的奥妙之处，也就更体现了“向量”这个工具在立体几何中应用的优越性、工具性。因为”程序化”的计算使我们的学生的“信心”倍增! 同时让我们的学生也懂得了“知其所以然”，再也不用为记这一个“好结论”而烦恼了！
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