2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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日期： 2013 年 9月 16 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编 号 专 用 页
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全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
1 车道被占用对城市道路通行能力的影响
摘 要
本文主要针对车道被占用对城市道路通行能力的影响问题建立了相关数学模型。 对于问题一，在分析交通事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力的变化过程的问题时，通过统计某时间段的事故所处横断面的车流量，从而得出事故发生后横断面的通行能力。然后，通过MATLAB 软件画出通行能力与时间之间的拟合曲线然后分析上游路口交通指示灯相位变化对事故横断面通行能力的影响。得到结论：事故发生前期上游路口处于第二相位时事故所处横断面的通行能力较强。最后，计算一分钟内事故所处横断面的实际通行能力，对以此得到的折线图分段拟合。得到结论：事故所处横断面的实际通行能力在事故前期快速衰减，事故后期呈平稳衰减趋势。
问题二要求我们结合问题一中所得结论和视频二，分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。视频二中数据的处理方法与问题一中数据处理方法相同。分析得到事故所处横断面的通行能力受三个方面因素的影响：1. 正常情况下各个车道车辆比例；2. 一个信号灯周期内汽车被迫换向持续时间3. 交通事故发生地上游车流量。最后，我们分交通拥挤和交通不拥挤这两个时间段，分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。
对于问题三，在分析视频一中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系的问题中，基于上述确定的三个指标关系，我们以交通波动理论、排队论，作为理论基础，对格林希尔茨(Greenshields)模型加以改进，使波动速度与问题一和问题二的提取的信息能够有效有效建立联系，从而确立车流量与波动速度的关系，进而建立起因车道占用对交通影响时间的简捷模型，而且还根据其排队长度是到达上游路口为临界点，分情况对车辆的排队长度进行分析和计算。
问题四要求我们根据已知的条件，估算大致时间。我们利用问题三建立的格林希尔茨(Greenshields) 改进模型，已知排队长度，可以反过来求得达到排队长度所需要的时间。只是此时需要对一些对应参数进行修改和利用视频一提取的数据进行变换和代入计算，从而可以求得要求的时间T 。
本文的创新之处在于重点分析了事故所占车道不同对横断面实际通行能力影响的差异产生的原因，从理论上分析了交通拥挤和交通不拥挤时事故所处横断面通行能力的影响因素。建立了估算了车道占用对城市交通的影响的简捷模型。这样为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供了参考依据。
最后我们还对模型进行了评价以及改进方向做了分析。
关键词： 分段拟合 被迫换流持续时间 交通波动理论 Greenshields 模型 排队长度分析
2 一、问题重述
现有与“车道被占用影响城市道路通行能力”相关的两段视频，视频中的信息大致如下：
上游路口到下游路口的道路是一条笔直的公路，这条道路一共有三条相同宽度的车道，分别记为：左车道、中车道、右车道。从上游路口往下游路口来看，有两个小区与该道路相连接。
某天，有两辆汽车在该道路中间的位置发生了交通事故。该道路发生事故所在的道路横截面中只有一条车道可以行驶车辆。视频一中两辆发生事故的车辆分别位于左车道和中车道；视频二中两辆发生事故的车辆分别位于中车道和右车道。视频1和视频2中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。
据此研究以下问题：
1. 根据视频1，描述视频中交通事故发生至撤离期间, 事故所处横断面实际通行能
力的变化过程。
2. 根据问题1所得结论，结合视频2，分析说明同一横断面交通事故所占车道不同
对该横断面实际通行能力影响的差异。
3. 构建数学模型，分析视频1中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面
实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。
4. 假如视频1中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需
求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。
二、问题分析
2.1 道路通行能力的概念
道路通行能力指的是在一定的道路和交通条件下，道路上某一路段单位时间内通过某一断面的最大车辆数。可分为基本通行能力、可能通行能力和设计通行能力三种。
道路通行能力亦称道路容量、交通容量或简称容量。一般以辆/h、人/h表示。车辆多指小汽车，当有其它车辆混入时，均采用等效通行能力的当量小客车单位。
道路通行能力与交通量不尽相同，交通量是指道路在一定时段内实际通过的车辆数。一般道路的交通量均小于道路的通行能力。
1. 当道路上的交通量比其通行能力小得多时，则司机驾车行进时操作的自由度就越大，既可以随意变更车速，转移车道，还可以方便地实现超车。
2. 当交通量等于或接近于道路通行能力时，车辆行驶的自由度就逐渐降低，一般只能以同一速度循序行进，如稍有意外，就会发生降速、拥挤，甚至阻滞。
3. 当交通量超过通行能力时，车辆就会出现拥挤，甚至堵塞。
因此，道路通行能力同河流的过水能力一样，是道路在一定条件下所能通过的车辆的极限数值，条件不同，要求不同，其通行能力也就不同。故通行能力是一个变数。
2.1 基本过程分析
对于上游十字路口的四条道路我们做如下标记：事故发生地所在道路记为上左路，与该路对应的为上右路，上侧为上上路，下侧为上下路。
3 交通事故发生地的上游路口信号灯的转换周期为60秒，00~30秒期间信号灯处于第一相位。这时从该路口向交通事故发生地驶去的车辆主要为：上右路驶来的和上上路的车右转驶来的；30~60秒期间信号灯处于第二相位，这时从该路口向交通事故发生地驶去的车辆主要为上上路右转驶来的车辆。
上游路口交通指示灯各个相位时车辆往交通事故发生地行驶的状况：
2.2 模型分析 问题一要求的是：视频1中交通事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力的变化过程。从视频1中我们知道00~30秒内上游路口指示灯处于第一相位，30~60秒内上右路口指示灯处于第二相位。由于第一相位和第二相位上游路口车辆的行驶位置不同，因此我们首先对事故发生期间两种相位下事故所处横断面的交通能力进行分别考虑。对于所得的数据进行比较，观察两者的不同。然后，把事故发生期间各分钟内事故所处横断面通过的车辆数统计出来，以此作为该时间段内横断面的实际通行能力。做出 通过横断面的车辆数随时间的变化关系式。
问题二要求根据视频一得出的结论，并结合视频二分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。我们首先对从视频二中得到的数据进行统计分析，所用的方法与问题一相同。然后，对事故所处横断面通行能力的影响因素进行分析。在事故发生地交通拥挤与事故发生地交通不拥挤分别考虑通行能力的影响因素。最后，仅考虑事故车辆所占车道不同对横断面通行能力的影响。
对于问题三，基于上述确定的三个指标关系，以交通波动理论、排队论，作为理论基础，对格林希尔茨(Greenshields)模型加以改进，使得波动速度与问题一和问题二的结论和提取的信息能够有机结合，从而确立车流量与波动速度的关系，进而建立了因车道占用对交通影响时间的简捷模型，而且还根据其排队长度是到达上游路口为临界点，分情况对车辆的排队长度进行分析和计算。
问题四要求我们根据已知的条件，估算大致时间。利用问题三建立的格林希尔茨(Greenshields) 改进模型，已知排队长度，可以反过来求得达到排队长度所需要的时间。只是此时需要对一些对应参数进行修改和利用视频一提取的数据进行变换和代入计算，上上路
上左路 上上路
上左路 上下路
上右路
图2.1 上游路口不同相位车辆流通图
4
从而可以求得要求的时间。
三、模型基本假设
1) 假设下游路口交通指示灯的变换在下游路口引起的车辆排队不会对交通事故发生地
的通行能力造成影响；同时假设该道路中交通事故引起的车辆排队不会对上游路段的车辆行驶造成影响；
2) 假设交通事故期间，该路段不会发生其他交通事故；
3) 在统计交通事故所处横断面的交通流量时，只考虑四轮及以上机动车、电瓶车。由
于两轮车体型小，行驶时所需空间少，在交通事故发生地其通行能力比四轮车大得多，换算成标准车辆会引起较大的误差；另一个原因是：两轮车在交通事故所处横断面行驶时通行能力受影响较小，因此，忽略两轮车的流量不影响问题的分析； 4) 由于公交车比其他汽车长，通过交通事故所处横断面的时间较长，因此把公交车看
成两个标准车辆，其他汽车看成一个标准汽车；
5) 在交通事故发生期间，从小区路口驶入事故所在道路的车辆数与该道路上驶向小区
的车辆数大致平衡，故不考虑从小区驶来的车辆；
6) 基于现实生活中实际情况的考虑，我们假设从上游路口驶来的车辆通过上游路口后
不会立即变换车道；
7) 在统计通过事故所处横断面的车辆时，假设行驶车辆在规定时间内到达事故车辆前
方或与事故车辆处于同一水平位置，我们即视该车通过。
四、常量说明
1) 交通事故发生地距上下游口240米； 2) 道路的三条车道宽度都为3.25米； 3) 从下游路口的统计情况来看：该道路上行驶的车在下游路口左转流量比例35%，
直行流量比例44%，右转流量比例21%。
五、问题一的分析与解释
我们把30秒内通过事故所处横断面的标准车辆数定义为该横断面的通行能力。 为了分析各个相位下事故横断面实际通行能力以及两个相位下通行能力的差异，对交通事故期间事故发生地的通行能力进行分别统计，统计结果如下：
视频1一共持续了18分35秒，在视频中我们观察到交通事故发生后的一段时间内，在事故点引起的拥挤程度较小，上游路口第一相位时驶来的车辆能在上游路口第二相位的车驶来前全部通过交通事故发生点，不同相位时事故横断面交通能力不同；在事故发生的后半阶段，上游路口第一相位驶来的车与第二相位驶来的车拥挤在一起，此时，上
5 游路口相位的变化对事故横断面交通能力没有影响。具体情况如下图所示：
图5.1 上游路口不同相位下事故截面的通行能力 在事故发生后的六分钟（16：42：32~16：48：00）内，上游路口第一相位是事故横断面的实际通行能力较大，反应在图上为：在这段时间内第一相位对应的流量均大于第二相位对应的车流量；在事故发生的后半部分，上游路口的相位变化对事故横断面的通行能力没有影响，图中两条曲线交叉重合。
基于以上考虑，我们拟建立事故横断面通行能力随时间变化的方程。下面用MATLAB 画出事故横断面通行能力随时间变化的折线图。
图5.2 事故横断面通行能力随时间变化的折线图 我们对事故发生后的前六分钟事故横断面通行能力随时间变化进行二次拟合，拟合情况如下：
6
图5.3 事故前期横断面通行能力随时间变化曲线 事故横断面的实际通行能力为y, 时间为x, 得到方程：
238. 471. 02+-=x x y 考虑到剩下的时间段内上游信号灯的相位变化对事故横断面通行能力没有影响，于是对图5.2剩下的部分进行一次拟合。
图5.4 事故后期横断面通行能力随时间变化曲线
得到方程:
2042. 0+-=x y 综上所述：视频一中的变化过程为：
⎩⎨⎧≤<+-≤+-=. 156 , 2042. 0; 6 , 238. 471. 02x x x x x y 在事故发生期间的前一段时间里，未引起交通拥挤或交通拥挤不明显，在这段时间内，
事故所处横截面实际通行能力变化较大且逐渐下降，后期由于交通拥挤，其通行能力变化较小；事故后期由于交通拥挤，事故横断面通行能力有所下降但变化不明显。
六、模型二的建立与求解
6.1 模型准备
模型假设：
1) 假设两次交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道；
2) 假设两次交通事故发生的时间是相同的；
3) 假设两次交通事故周围的环境、气候、交通服务、道路设施处于正常水平。
名词定义：
（5-1）
（5-2）
（5-3）
7 1） 交通拥挤：上游路口某个相位释放的车队驶向事故所处横断面时会受到上个相位释放车队的阻碍。
2） 交通不拥挤：上游路口某个相位释放的车队驶向事故所处横断面时会受到上个相位释放车队的阻碍。
3） 被迫换向持续时间：在某个时间段内，在特定车道上行驶的车辆必须经过换道才能通过交通事故所在横断面，这个时间段的最大值即为该相位下的被迫换向持续时间。
6.2 视频二数据处理
对于第二个视频数据的分析与视频一数据分析的方法相同。首先分析第二个视频交通事故发生至撤离期间，事故所处很断面实际通行能力的变化过程。然后，结合两个视频分析结果，分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。在这个过程中我们主要分析。。。。。。
视频2一共持续了29分13秒，在整个过程中事故所处横断面的实际通行能力的变化过程与视频一类似：交通事故发生后的前一段时间内，在事故点引起的拥挤程度较小，上游路口不同相位时事故横断面交通能力不同；在事故发生的后半阶段，上游路口第一相位驶来的车与第二相位驶来的车拥挤在一起，此时，我们大致认为上游路口相位的变化对事故横断面交通能力没有影响。具体情况如下图所示：
图6.1 上游路口不同相位下事故截面通行能力 在事故发生后的8分钟（17：34：17~17：42：17）内，上游路口第一相位时事故横断面的实际通行能力较大，反应在图上为：在这段时间内第一相位对应的流量均大于第二相位对应的车流量；在事故发生的后半部分，上游路口的相位变化对事故横断面的通行能力没有影响，图中两条曲线交叉重合。
基于以上考虑，我们拟建立事故横断面通行能力随时间变化的方程。下面用MATLAB 画出事故横断面通行能力随时间变化的折线图。
8
图6.2 事故横断面通行能力随时间变化的折线图 我们对事故发生后的前8分钟事故横断面通行能力随时间变化进行二次拟合，拟合情况如下：
图6.3 事故前期横断面通行能力随时间变化曲线 事故横断面的实际通行能力为y, 时间为x, 得到方程：
339. 335. 02+-=x x y 考虑到剩下的时间段内上游信号灯的相位变化对事故横断面通行能力没有影响，于是对图5.5剩下的部分进行一次拟合。
图6.4 事故后期横断面通行能力随时间变化曲线 得到方程:
21013. 0+-=x y 观察到上述表达式的斜率很小，因此其通行能力的变化可以忽略不计。
（6-1）
（6-2）
9 综上所述：视频二中的事故所处横断面实际通行能力变化过程为：
⎩⎨⎧≤<+-≤+-=. 238 , 21013. 0; 8 , 339. 335. 02x x x x x y 在事故发生期间的前一段时间里，未引起交通拥挤或交通拥挤不明显，在这段时间
内，事故所处横截面实际通行能力变化较大且逐渐下降，后期由于交通拥挤，事故横断面通行能力变化不明显。
6.3 事故占据不同车道时的通行分析
由于上上路右转相位不受色灯信号控制，因此在整个过程一直存在从上上路驶来的车辆。通过对视频以及附件五、附件六的分析可知：上游路口交通指示灯处于第一相位时，事故发生路段有从上上路驶来的车辆还有从上右路驶来的车辆；上游路口交通指示灯处于第二相位时，事故发生路段有从上上路驶来的车辆，而无从上右路驶来的车辆。如图5.9，以表格的形式概括如下：
位。1：该路有车辆往事故发生路段行驶；0：该路没有车辆往事故发生路段行驶。
视频一中，两辆发生交通事故的车占据左车道，中车道。上游路口色灯为第一相位时，由于有两路车同时穿过右车道，在左车道或中车道行驶的车辆会在事故地点进行换向，所以会发生交通拥挤的状况；上游路口色灯为第二相位时，该路段只有从上上路驶来的车辆，且这些车刚开始时行驶在右车道，由于事故发生地右车道未被占用，所以此时不会发生交通拥挤。
视频二中，两辆发生交通事故的车分别占据中车道，右车道。上游路口色灯为第一相位时，由于有两路车同时穿过左车道，在右车道或中车道行驶的车辆会在事故地点进行换向，所以会发生交通拥挤的状况；上游路口色灯为第二相位时，该路段只有从上上路驶来的车辆，在行驶过程中会发生换向，一定程度上会影响事故所处横断面的实际通行能力。如表5.3所示：
注：事故位置一：两辆发生事故的车占据左车道、中车道；事故位置二：两辆发生事故的车占据中车道，右车道。1：驶来的车辆有需要换位的；0：驶来的车辆都不需要换位。
（6-3）
10
基于以上分析我们得出这样一个结论：事故所处横断面实际通行能力与三个因素有关：
1）正常情况下各个车道车辆比例（道路上行驶的汽车到下游路口时的转向比例即为 所求）；
2）一个信号灯周期内存在的被迫换向持续时间（视频一的交通事故造成一个信号灯周 期内存在换向的时间为30秒，视频二的交通事故造成一个信号灯周期内存在换向的 时间为60秒）；
3）交通事故发生地上游车流量。
决定事故所处横断面的实际通行能力的影响因素如下图所示：
图6.6 交通拥挤时（即前后两个相位的车辆拥挤在一起）道路的通行能力仅仅与正常情况下各个车道车辆比例相关；
交通不拥挤时（即一个交通信号灯相位时间内驶向事故发生地的车不会因为上个相位车的滞留而排队）道路的通行能力与正常情况下各个车道车辆比例、一个信号灯周期内的车辆被迫换向持续时间、交通事故发生地上游车流量 这三个因素都有关系。
问题二要求我们分析所占车道不同对横断面实际通行能力影响的差异，交通拥挤时这种差异是体现不出来的，我们仅仅考虑交通不拥挤时两者的差异。如若不考虑各个车道车辆比例、交通事故发生地上游车流量对事故所处横断面通行能力的影响，那么同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面通行能力影响的差异体现在：交通事故占据不同车道，一个信号灯周期内车辆换向时间不同。
视频一中两辆汽车占据左车道和中车道，在一个信号灯周期内车辆被迫换向持续时间为30秒；视频二中两辆汽车占据中车道和右车道，在一个信号灯周期内车辆被迫换
11 向持续时间为60秒。据此可以估计出在不拥挤的情况下：视频一中横断面的实际通行能力比视频二中横断面的实际通行能力强。在拥挤的情况下两者的通行能力仅与正常情况下各个车道车辆比例相关。
6.4 事故占据不同车道的影响差异
为了检验以上假设的正确性，以时间为x 轴，视频一中事故横断面实际通行能力为y 1，视频二中事故横断面实际通行能力为y 2。做出y 1，y 2关于x 的散点图。比较二者通行能力的差异。
图6.7 所占车道不同对道路通行能力影响的差异 从上图中我们看到：
在事故发生点附近发生拥挤时，视频二中横断面的实际通行能力比视频一中横断面的实际通行能力强。视频一二中交通发生拥挤的这段时间在一天中所处的位置不同。视频一中事故的持续时间为：16：42：32~17：01：07；视频二中事故持续的时间为：17：34:17~18:03:30。视频二中交通发生拥挤的时间更接近于下班时间。因此我们可以认为视频二中上游车流量较视频一大。
在事故发生点附近不发生拥挤时，视频一中横断面的实际通行能力并没有比视频二中横断面的实际通行能力强。在这个过程中我们假定视频一、二中上游车流量相同，仅考虑、正常情况下各个车道车辆比例对两个视频中横断面的实际通行能力的影响。从该路段往下游行驶车辆的转向流量比例可以看出，左转流量比例比右转流量比例多。从这个角度来看，视频一中事故车辆所占车道对该路口通行能力的影响较大。其实这与6.3中的得到的结论并不是完全相违背的，只能说在题中正常情况下各个车道车辆比例对横断面通行能力的影响较车辆被迫换向持续时间对横断面通行能力的影响大些。
12 七、模型三的建立与求解
7.1 模型准备
7.1.1 交通波理论
在遇到有交通事故的道路上，往往会出现交通瓶颈。此时分析道路的通行能力时往往采用交通波理论。
图7.1 交通波示意图 如上图所示：
假设道路上有两个相邻的不同交通流密度区域(1k 和2k ) ，用垂直线S 分割这两种密度，称S 为波阵面。设S 的速度为w ，并规定交通流沿x 轴正方向运行。显然，由交通流量守恒可知，在时间t 内通过界面S 的车辆数可以表示为： t k u t k u N r r 2211==
即： 2211) () (k w u k w u -=- 上式中相应量的含义为：
1u ：A 区的车辆的平均速度；
2u ：B 区的车辆的平均速度；
111) (k w u u r -=：在A 区相对于垂直分界线S 的车辆的速度；
222) (k w u u r -=：在B 区相对于垂直分界线万的车辆的速度
整理可得：
) (121122k k w k u k u -=-
由流量模型ku q =可知： 111u k q = , 222u k q =.
式7-2代入上式中得到： 1
212k k q q w --=
2q :B 区交通流量； 1q ： A 区交通流量；
2k ：B 区交通流密度；1k ：A 区交通流密度.
当道路发生交通事故产生瓶颈时，012<-q q 且k2-k1>0012>-k k ，此时ω< 0，意味着交通波向后传播，交通流从高流量、低密度、较高速度进入低流量、高密度、较低速度状态，所以上游交通流状态受到影响而变差，即较差的交通流状态向上游扩展。 7.12 路段排队对上游的影响：
以视频1中事故发生路段AB 对其上游交叉口的影响为例进行说明，事故发生点C 离 (7-1 ) (7-2) （7-3）
（7-4）
（7-5）
13 交叉口的距离为0L , 事故发生前该路段上的交通流量为q , 事故地段的通行能力为c , 当
c q >时, 车辆在事故点C 点开始排队, 在交通事故持续时间了里产生的车辆排队长度为L 。若L> L0, 说明车辆排队延伸到交叉口A(上游), 严重地影响道路通行。
7.2 模型的建立与求解
根据视频一中交通流情况，考虑到车流的速度和密度的关系，我们以格林希尔茨(Greenshields)模型为基础并加以改进。本文的速度—密度模型采用格林希尔茨模型, 根据格林希尔茨的车流速度—密度线形关系：
) 1(j
f k k u u -= 上式中：
u ：车速(km/h);
f u ：自由流车速(km/h);
k ：密度(veh / km );
j k ：堵塞密度(veh /km)
) 1(j f k k ku q -= 将式7-6和式7-7代入到交通波理论式7-5中可到交通波的另一种形式:
) 1(21j
f k k k u w +-= 当发生事故造成路段封闭断流，车流就从高速低密度状态变成零速度高密度状态，即停车状态，形成集结波，这种集结波也可称为停车波，停车波沿停车队列的尾部向上游延伸的速度就是停车波的波速stop w 。根据交通波理论中波速的基本公式，代入到式7-8中，容易得到事故地点前停车波的波速为:
(1) stop f j w u k k =-
代入上式(7)可得停车波的波速为:
) /(k k q w j stop --=
stop w ：为停车的波速;
q :为事故点上游车流的车流量(veh/h);
（7-6） （7-7）
（7-8）
14 k :为事故点上游车流的车流密度(veh/h);
j k :为车流停车排队的密度即阻塞密度(veh /km);
在交通事故持续时间T 内, 交通流波阵面S 向上游移动的距离为|ω|T,若该长度小于事故地点至上游交叉口的距离, 则排队长度为|ω|T;若大于事故地点至上游交叉口的距离, 则交叉口向后传播的交通波为停车波, 在交通事故期T 内, 停车波向上游移动的距离为|ω
stop |T,停下来的车辆数为,N T =|ωstop |Tk j
因为k <k j, 所以不难看出，N T =q T/(1-k/kj); 事故地点上游来的车流的车速越低, 密度越接近阻塞密度k j
, 此时排队车辆N T =|ωstop |Tk j 排队长度的计算：在交通事故持续时间T 内，交通波的速度:
12(1) f j
k k w u k +=- 其中：
u f ：设计时速
k1：事故段的交通密度，有可以得到交通管理系统
kj: 交通阻塞密度，有交通管理系统得到
在此时间内，车辆的排队长度为|ω|T的大小与交通事故点距上游的长度L 0比较，其中长度L 0可以通过交通管理系统得到。
若|ω|T<L 0, 则时间T 内的排队长度为|ω|T；
若|ω|T>L 0, 则说明在T 时间内，车辆排队到上游交叉口，即发生整个上游十字路口发生排队的现象，计算出排至交叉口的时间t ，则在剩余时间为（T-t ）内，交通波向各个路口延伸开去，波速为各个路口的停止波速ωstop =-q /(k j -k ) 由道路的基本资料可得，向各个方向的排队长度为：(T-t) |ωstop |
由此可得：在时间T 内的排队长度：
L=0T, ; (Tt) , stop w L w ⎧⎪⎨+-⎪⎩车辆排队长度未达到上游口时车辆排队长度达到上游交叉口;
其中：
t 为计算出排至交叉口的时间，12(1) f j
k k w ku k +=-, () stop j w q k k =-- 代入整理可得：
L=120(1) , (Tt) , f j j k k ku T k q L k k ⎧+-⎪⎪⎨⎪+-⎪-⎩
车辆排队长度未达到上游口时; 车辆排队长度达到上游交叉口;
八、问题四的分析与求解
基于模型三的建立，对于问题四，问题中已知其车辆长度等于其距上游路口的长度
15 X=140m，路段下游方向需求不变，路段上游的车流量为1500pcu/h,且此时排队长度为零。有视频一（附件）分析得到的基本数据:
u f 为其自由车速，即在事故为发生时的车辆自由穿梭的平均速度，计算方法，即在绿灯期间，车辆从上游交叉口出发时间t1到达事故发生点时刻t2（t1,t2均有由视频中显示的时间读出）所得平均时间差t 。从而由位移-时间公式得到u f 的取值为36km/h。
q2 其为上游的车流量，此时q2=1500pcu/h,
q1其为下游的车流量，根据视频一（附件）我们统计了发生事故后不同时段的多组下游车流量取平均值（具体统计数值看附录二）得到q1=1130pcu/h。
k1其为下游的车行密度，根据视频一（附件）我们统计了发生事故后不同时间点的以120m 为界面长度统计下游车流量取平均值（具体统计数值看附录二）
k2其为上游的车行密度，根据根据视频一（附件）我们统计了发生事故后上游车辆的平均速度u, （具体统计数值看附录二），流量模型q=ku得,u=q2/k2;由模型三的排队长度与时间关系结论，又已知其恰好满足到达交叉口处，则将其代入
L=错误！未找到引用源。
中的第一种情况，即车辆排队长度到达或小于上游口距离时
对应的公式。
解得：T=0.0853 h 约为307s
九、模型的优缺点
9.1模型优点
（1）对数据进行合理的分析处理，采用多次拟合的方法对数据间的关系进行图像化，使其问题分析更加具有说服力。
（2）多次统计某时间段内通过的车辆数，来求均值减少了数据间的误差。
（3）根据MATLAB 软件画图，操作简单，图形可以充分反映数据间的关系。
（4）利用交通波理论，将问题三简化，充分利用了数据信息。
（5）本文所建模型具有比较广泛的应用价值，可以应用到其他领域的研究。
9.2模型缺点
（1）所提供的视频有跳动，得到的数据会存在不连贯的现象。有所跳动，数据存在微 小误差。
（2）由于数据是从视频中人为地得到的，因此所得到的数据的准确性受主观因素影响 较大。
（3）在比较同一横断面交通事故所占车道不同对横断面实际通行能力影响的差异进行 分析比较时忽略了事故发生时间对通行能力的影响。
十、模型的评价
本文中我们构建的模型是在交通波模型的基础上, 基于格林希尔治模型推导出来的。因其形式简单，便于计算，据此简化了模型，因而会得到广泛的应用。在模型计算上，我们如果能够采集足够更为准确的数据，可以得到更为具体的模型变化规律，结果会更有通用性。我们从分析格林希尔治模型的适用条件可知, 模型在通常的交通流密度下与实际交通流状况相符, 在交通流密度很大或在密度很小时该模型与实际情况有一定
16 偏差。这些都是我们进一步改进模型的方向。
十一、模型推广
本文作为一个典型的车道占用对道路交通影响的模型，其模型建立，包括排队论，数据处理等思想。正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将在交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等，有着巨大的推广价值
十二、参考文献
[1] 姜启源 谢金星 叶俊，数学模型（第四版) ，北京:高等教育出版社，2011.1.
[2] 纪英 高超，道路堵塞时排队长度和排队持续时间计算方法，交通信息与安全，第
149期27卷，41-43，2009年增刊1.
[3] 王进 白玉 杨晓光，道路堵塞时排队长度和排队持续时间计算方法，同济大学学报 （自然科学版），第11期40卷，37-39，2012.11.
[4] 李志林 欧宜贵，数学建模及典型案例分析，北京:工学工业出版社， 2006.12.
[5] 韩中庚，数学建模竞赛：获奖论文精选与点评，北京:科学出版社， 2007.1
17
1附录:
视频一事故所处横断面世纪通行能力随时间变化的统计结果：
时间
公交车数
通过事故发生地的总车数 （一辆公交车转化为两辆计入）
16:42:32——16:43:00 2 10 16:43:00——1643:30 2 11 16:43:30——16:44:00 0 10 16:44:00——16:44:30 0 8 16:44:30——16:45:00 0 9 16:45:00——16:45:30 0 7 16:45:30——16:46:00 0 8 16:46:00——16:4630 1 9 16:46:30——16:47:00 0 9 16:47:00——16:47:30 0 6 16:47:30——16:48:00 1 10 16:48:00——16:48:30 0 11 16:48:30——16:49:00 0 10 16:49:00——16:49:30 0 8 16:49:30——16:50:00 0 10 16:50:00:—16:50:30 1 10 16:50:30——16:51:00 0 8 16:51:00——16:51;30 0 10 16:51:30——16:52:00 1 10 16:52:00——15:52:30 1 8 16:52:30——16:53:00 1 8 16:53:00——16:53:30 0
8
视频二统计结果：
时间
公交车数
通过事故发生横截面的车辆数（一
辆公交车按两辆计入）
17:34:17——17:34:30 0 3 17:34:30——17:35:00 1 11 17:35:00——17:35:30 1 14 17:35:30——17:36:00
2 15 17:36:00——17:36:30 0 8 17:36:30——17:37:00 1 10 17:37:00——17:37:30 0 12 17:37:30——17:38:00 3 14 17:38:00——17:38:30 0 10 17:38:30——17:39:00 1 13 17:39:00——17:39:30 1 8 17:39:30——17:40:00 2 14 17:40:00——17:40:30 0 7 17:40:30——17:41:00 2 15 17:41:00——17:41:30 0 9 17:41:30——17:42:00 1 15 17:42:00——17:42:30 0 12 17:42:30——17:43:00 1 12 17:43:00——17:43:30 1 12 17:43:30——17:44:00 1 13 17:44:00——17:44:30 0 5 17:44:30——17:45:00 1 12 17:45:00——17:45:30 0 8 17:45:30——17:46:00 0 11 17:46:00——17:46:30 1 11 17:46:30——17:47:00 1 11 17:47:00——17:47:30 0
3
18
17:47:30——17:48:00 3 10 17:48:00——17:48:30 1 11 17:48:30——17:49:00 1 14 17:49:00——17:49:30 0 10 17:49:30——17:50:00 1 10 17:50:00——17:50:30 0 12 17:50:30——17:51:00 0 13 17:51:00——17:51:30 0 10 17:51:30——17:52:00 1 10 17:52:00——17:52:30 1 10 17:52:30——17:53:00 0 11 17:53:00——17:53:30 1 9 17:53:30——17:54:00 1 10 17:54:00——17:54:30 1 13 17:54:30——17:55:00 0 9 17:55:00——17:55:30 2 10 17:55:30——17:56:00 0
12
上游车流量统计 单位：辆/h
车流量统计 单位：辆
/h
16:45:00——16:46:00 960 16:46:00——16:47:00 780 16:47:00——16:48:30 1260 16:48:30——16:49:00 1140 16:49:00——16:50:00 1020 16:50:00——16:51:00 1260 16:51:00——16:52:00 1620 16:52:00——16:53:00 1140 16:53:00——16:54:00 1380 16:54:00——16:55:00
1020
下游车流量 单位：辆
/h
16:45:00——16:46:00 900 16:46:00——16:47:00 1080 16:47:00——16:48:30 960 16:48:30——16:49:00 1260 16:49:00——16:50:00 1080 16:50:00——16:51:00 1080 16:51:00——16:52:00 1200 16:52:00——16:53:00
960
上游密度 单位：辆
/km
16:45:00——16:46:00 41.1 16:46:00——16:47:00 39.0 16:47:00——16:48:30 40.6 16:48:30——16:49:00
43.2
19
16:51:00——16:52:00 38.75 16:52:00——16:53:00 43.2 16:53:00——16:54:00 36.0 16:54:00——16:55:00
41.8
下游密度 单位：辆/km
16:45:00——16:46:00 10.4 16:46:00——16:47:00 12.5 16:47:00——16:48:30 11.1 16:48:30——16:49:00 14.6 16:49:00——
16:50:00 12.5
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参
赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网
上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或
其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有
违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展
示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）： 河南工业大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 张永涛
指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名) ： 数学建模指导组 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）
日期： 2013 年 9月 16 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编 号 专 用 页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
1 车道被占用对城市道路通行能力的影响
摘 要
本文主要针对车道被占用对城市道路通行能力的影响问题建立了相关数学模型。 对于问题一，在分析交通事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力的变化过程的问题时，通过统计某时间段的事故所处横断面的车流量，从而得出事故发生后横断面的通行能力。然后，通过MATLAB 软件画出通行能力与时间之间的拟合曲线然后分析上游路口交通指示灯相位变化对事故横断面通行能力的影响。得到结论：事故发生前期上游路口处于第二相位时事故所处横断面的通行能力较强。最后，计算一分钟内事故所处横断面的实际通行能力，对以此得到的折线图分段拟合。得到结论：事故所处横断面的实际通行能力在事故前期快速衰减，事故后期呈平稳衰减趋势。
问题二要求我们结合问题一中所得结论和视频二，分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。视频二中数据的处理方法与问题一中数据处理方法相同。分析得到事故所处横断面的通行能力受三个方面因素的影响：1. 正常情况下各个车道车辆比例；2. 一个信号灯周期内汽车被迫换向持续时间3. 交通事故发生地上游车流量。最后，我们分交通拥挤和交通不拥挤这两个时间段，分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。
对于问题三，在分析视频一中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系的问题中，基于上述确定的三个指标关系，我们以交通波动理论、排队论，作为理论基础，对格林希尔茨(Greenshields)模型加以改进，使波动速度与问题一和问题二的提取的信息能够有效有效建立联系，从而确立车流量与波动速度的关系，进而建立起因车道占用对交通影响时间的简捷模型，而且还根据其排队长度是到达上游路口为临界点，分情况对车辆的排队长度进行分析和计算。
问题四要求我们根据已知的条件，估算大致时间。我们利用问题三建立的格林希尔茨(Greenshields) 改进模型，已知排队长度，可以反过来求得达到排队长度所需要的时间。只是此时需要对一些对应参数进行修改和利用视频一提取的数据进行变换和代入计算，从而可以求得要求的时间T 。
本文的创新之处在于重点分析了事故所占车道不同对横断面实际通行能力影响的差异产生的原因，从理论上分析了交通拥挤和交通不拥挤时事故所处横断面通行能力的影响因素。建立了估算了车道占用对城市交通的影响的简捷模型。这样为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供了参考依据。
最后我们还对模型进行了评价以及改进方向做了分析。
关键词： 分段拟合 被迫换流持续时间 交通波动理论 Greenshields 模型 排队长度分析
2 一、问题重述
现有与“车道被占用影响城市道路通行能力”相关的两段视频，视频中的信息大致如下：
上游路口到下游路口的道路是一条笔直的公路，这条道路一共有三条相同宽度的车道，分别记为：左车道、中车道、右车道。从上游路口往下游路口来看，有两个小区与该道路相连接。
某天，有两辆汽车在该道路中间的位置发生了交通事故。该道路发生事故所在的道路横截面中只有一条车道可以行驶车辆。视频一中两辆发生事故的车辆分别位于左车道和中车道；视频二中两辆发生事故的车辆分别位于中车道和右车道。视频1和视频2中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。
据此研究以下问题：
1. 根据视频1，描述视频中交通事故发生至撤离期间, 事故所处横断面实际通行能
力的变化过程。
2. 根据问题1所得结论，结合视频2，分析说明同一横断面交通事故所占车道不同
对该横断面实际通行能力影响的差异。
3. 构建数学模型，分析视频1中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面
实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。
4. 假如视频1中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需
求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。
二、问题分析
2.1 道路通行能力的概念
道路通行能力指的是在一定的道路和交通条件下，道路上某一路段单位时间内通过某一断面的最大车辆数。可分为基本通行能力、可能通行能力和设计通行能力三种。
道路通行能力亦称道路容量、交通容量或简称容量。一般以辆/h、人/h表示。车辆多指小汽车，当有其它车辆混入时，均采用等效通行能力的当量小客车单位。
道路通行能力与交通量不尽相同，交通量是指道路在一定时段内实际通过的车辆数。一般道路的交通量均小于道路的通行能力。
1. 当道路上的交通量比其通行能力小得多时，则司机驾车行进时操作的自由度就越大，既可以随意变更车速，转移车道，还可以方便地实现超车。
2. 当交通量等于或接近于道路通行能力时，车辆行驶的自由度就逐渐降低，一般只能以同一速度循序行进，如稍有意外，就会发生降速、拥挤，甚至阻滞。
3. 当交通量超过通行能力时，车辆就会出现拥挤，甚至堵塞。
因此，道路通行能力同河流的过水能力一样，是道路在一定条件下所能通过的车辆的极限数值，条件不同，要求不同，其通行能力也就不同。故通行能力是一个变数。
2.1 基本过程分析
对于上游十字路口的四条道路我们做如下标记：事故发生地所在道路记为上左路，与该路对应的为上右路，上侧为上上路，下侧为上下路。
3 交通事故发生地的上游路口信号灯的转换周期为60秒，00~30秒期间信号灯处于第一相位。这时从该路口向交通事故发生地驶去的车辆主要为：上右路驶来的和上上路的车右转驶来的；30~60秒期间信号灯处于第二相位，这时从该路口向交通事故发生地驶去的车辆主要为上上路右转驶来的车辆。
上游路口交通指示灯各个相位时车辆往交通事故发生地行驶的状况：
2.2 模型分析 问题一要求的是：视频1中交通事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力的变化过程。从视频1中我们知道00~30秒内上游路口指示灯处于第一相位，30~60秒内上右路口指示灯处于第二相位。由于第一相位和第二相位上游路口车辆的行驶位置不同，因此我们首先对事故发生期间两种相位下事故所处横断面的交通能力进行分别考虑。对于所得的数据进行比较，观察两者的不同。然后，把事故发生期间各分钟内事故所处横断面通过的车辆数统计出来，以此作为该时间段内横断面的实际通行能力。做出 通过横断面的车辆数随时间的变化关系式。
问题二要求根据视频一得出的结论，并结合视频二分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。我们首先对从视频二中得到的数据进行统计分析，所用的方法与问题一相同。然后，对事故所处横断面通行能力的影响因素进行分析。在事故发生地交通拥挤与事故发生地交通不拥挤分别考虑通行能力的影响因素。最后，仅考虑事故车辆所占车道不同对横断面通行能力的影响。
对于问题三，基于上述确定的三个指标关系，以交通波动理论、排队论，作为理论基础，对格林希尔茨(Greenshields)模型加以改进，使得波动速度与问题一和问题二的结论和提取的信息能够有机结合，从而确立车流量与波动速度的关系，进而建立了因车道占用对交通影响时间的简捷模型，而且还根据其排队长度是到达上游路口为临界点，分情况对车辆的排队长度进行分析和计算。
问题四要求我们根据已知的条件，估算大致时间。利用问题三建立的格林希尔茨(Greenshields) 改进模型，已知排队长度，可以反过来求得达到排队长度所需要的时间。只是此时需要对一些对应参数进行修改和利用视频一提取的数据进行变换和代入计算，上上路
上左路 上上路
上左路 上下路
上右路
图2.1 上游路口不同相位车辆流通图
4
从而可以求得要求的时间。
三、模型基本假设
1) 假设下游路口交通指示灯的变换在下游路口引起的车辆排队不会对交通事故发生地
的通行能力造成影响；同时假设该道路中交通事故引起的车辆排队不会对上游路段的车辆行驶造成影响；
2) 假设交通事故期间，该路段不会发生其他交通事故；
3) 在统计交通事故所处横断面的交通流量时，只考虑四轮及以上机动车、电瓶车。由
于两轮车体型小，行驶时所需空间少，在交通事故发生地其通行能力比四轮车大得多，换算成标准车辆会引起较大的误差；另一个原因是：两轮车在交通事故所处横断面行驶时通行能力受影响较小，因此，忽略两轮车的流量不影响问题的分析； 4) 由于公交车比其他汽车长，通过交通事故所处横断面的时间较长，因此把公交车看
成两个标准车辆，其他汽车看成一个标准汽车；
5) 在交通事故发生期间，从小区路口驶入事故所在道路的车辆数与该道路上驶向小区
的车辆数大致平衡，故不考虑从小区驶来的车辆；
6) 基于现实生活中实际情况的考虑，我们假设从上游路口驶来的车辆通过上游路口后
不会立即变换车道；
7) 在统计通过事故所处横断面的车辆时，假设行驶车辆在规定时间内到达事故车辆前
方或与事故车辆处于同一水平位置，我们即视该车通过。
四、常量说明
1) 交通事故发生地距上下游口240米； 2) 道路的三条车道宽度都为3.25米； 3) 从下游路口的统计情况来看：该道路上行驶的车在下游路口左转流量比例35%，
直行流量比例44%，右转流量比例21%。
五、问题一的分析与解释
我们把30秒内通过事故所处横断面的标准车辆数定义为该横断面的通行能力。 为了分析各个相位下事故横断面实际通行能力以及两个相位下通行能力的差异，对交通事故期间事故发生地的通行能力进行分别统计，统计结果如下：
视频1一共持续了18分35秒，在视频中我们观察到交通事故发生后的一段时间内，在事故点引起的拥挤程度较小，上游路口第一相位时驶来的车辆能在上游路口第二相位的车驶来前全部通过交通事故发生点，不同相位时事故横断面交通能力不同；在事故发生的后半阶段，上游路口第一相位驶来的车与第二相位驶来的车拥挤在一起，此时，上
5 游路口相位的变化对事故横断面交通能力没有影响。具体情况如下图所示：
图5.1 上游路口不同相位下事故截面的通行能力 在事故发生后的六分钟（16：42：32~16：48：00）内，上游路口第一相位是事故横断面的实际通行能力较大，反应在图上为：在这段时间内第一相位对应的流量均大于第二相位对应的车流量；在事故发生的后半部分，上游路口的相位变化对事故横断面的通行能力没有影响，图中两条曲线交叉重合。
基于以上考虑，我们拟建立事故横断面通行能力随时间变化的方程。下面用MATLAB 画出事故横断面通行能力随时间变化的折线图。
图5.2 事故横断面通行能力随时间变化的折线图 我们对事故发生后的前六分钟事故横断面通行能力随时间变化进行二次拟合，拟合情况如下：
6
图5.3 事故前期横断面通行能力随时间变化曲线 事故横断面的实际通行能力为y, 时间为x, 得到方程：
238. 471. 02+-=x x y 考虑到剩下的时间段内上游信号灯的相位变化对事故横断面通行能力没有影响，于是对图5.2剩下的部分进行一次拟合。
图5.4 事故后期横断面通行能力随时间变化曲线
得到方程:
2042. 0+-=x y 综上所述：视频一中的变化过程为：
⎩⎨⎧≤<+-≤+-=. 156 , 2042. 0; 6 , 238. 471. 02x x x x x y 在事故发生期间的前一段时间里，未引起交通拥挤或交通拥挤不明显，在这段时间内，
事故所处横截面实际通行能力变化较大且逐渐下降，后期由于交通拥挤，其通行能力变化较小；事故后期由于交通拥挤，事故横断面通行能力有所下降但变化不明显。
六、模型二的建立与求解
6.1 模型准备
模型假设：
1) 假设两次交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道；
2) 假设两次交通事故发生的时间是相同的；
3) 假设两次交通事故周围的环境、气候、交通服务、道路设施处于正常水平。
名词定义：
（5-1）
（5-2）
（5-3）
7 1） 交通拥挤：上游路口某个相位释放的车队驶向事故所处横断面时会受到上个相位释放车队的阻碍。
2） 交通不拥挤：上游路口某个相位释放的车队驶向事故所处横断面时会受到上个相位释放车队的阻碍。
3） 被迫换向持续时间：在某个时间段内，在特定车道上行驶的车辆必须经过换道才能通过交通事故所在横断面，这个时间段的最大值即为该相位下的被迫换向持续时间。
6.2 视频二数据处理
对于第二个视频数据的分析与视频一数据分析的方法相同。首先分析第二个视频交通事故发生至撤离期间，事故所处很断面实际通行能力的变化过程。然后，结合两个视频分析结果，分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。在这个过程中我们主要分析。。。。。。
视频2一共持续了29分13秒，在整个过程中事故所处横断面的实际通行能力的变化过程与视频一类似：交通事故发生后的前一段时间内，在事故点引起的拥挤程度较小，上游路口不同相位时事故横断面交通能力不同；在事故发生的后半阶段，上游路口第一相位驶来的车与第二相位驶来的车拥挤在一起，此时，我们大致认为上游路口相位的变化对事故横断面交通能力没有影响。具体情况如下图所示：
图6.1 上游路口不同相位下事故截面通行能力 在事故发生后的8分钟（17：34：17~17：42：17）内，上游路口第一相位时事故横断面的实际通行能力较大，反应在图上为：在这段时间内第一相位对应的流量均大于第二相位对应的车流量；在事故发生的后半部分，上游路口的相位变化对事故横断面的通行能力没有影响，图中两条曲线交叉重合。
基于以上考虑，我们拟建立事故横断面通行能力随时间变化的方程。下面用MATLAB 画出事故横断面通行能力随时间变化的折线图。
8
图6.2 事故横断面通行能力随时间变化的折线图 我们对事故发生后的前8分钟事故横断面通行能力随时间变化进行二次拟合，拟合情况如下：
图6.3 事故前期横断面通行能力随时间变化曲线 事故横断面的实际通行能力为y, 时间为x, 得到方程：
339. 335. 02+-=x x y 考虑到剩下的时间段内上游信号灯的相位变化对事故横断面通行能力没有影响，于是对图5.5剩下的部分进行一次拟合。
图6.4 事故后期横断面通行能力随时间变化曲线 得到方程:
21013. 0+-=x y 观察到上述表达式的斜率很小，因此其通行能力的变化可以忽略不计。
（6-1）
（6-2）
9 综上所述：视频二中的事故所处横断面实际通行能力变化过程为：
⎩⎨⎧≤<+-≤+-=. 238 , 21013. 0; 8 , 339. 335. 02x x x x x y 在事故发生期间的前一段时间里，未引起交通拥挤或交通拥挤不明显，在这段时间
内，事故所处横截面实际通行能力变化较大且逐渐下降，后期由于交通拥挤，事故横断面通行能力变化不明显。
6.3 事故占据不同车道时的通行分析
由于上上路右转相位不受色灯信号控制，因此在整个过程一直存在从上上路驶来的车辆。通过对视频以及附件五、附件六的分析可知：上游路口交通指示灯处于第一相位时，事故发生路段有从上上路驶来的车辆还有从上右路驶来的车辆；上游路口交通指示灯处于第二相位时，事故发生路段有从上上路驶来的车辆，而无从上右路驶来的车辆。如图5.9，以表格的形式概括如下：
位。1：该路有车辆往事故发生路段行驶；0：该路没有车辆往事故发生路段行驶。
视频一中，两辆发生交通事故的车占据左车道，中车道。上游路口色灯为第一相位时，由于有两路车同时穿过右车道，在左车道或中车道行驶的车辆会在事故地点进行换向，所以会发生交通拥挤的状况；上游路口色灯为第二相位时，该路段只有从上上路驶来的车辆，且这些车刚开始时行驶在右车道，由于事故发生地右车道未被占用，所以此时不会发生交通拥挤。
视频二中，两辆发生交通事故的车分别占据中车道，右车道。上游路口色灯为第一相位时，由于有两路车同时穿过左车道，在右车道或中车道行驶的车辆会在事故地点进行换向，所以会发生交通拥挤的状况；上游路口色灯为第二相位时，该路段只有从上上路驶来的车辆，在行驶过程中会发生换向，一定程度上会影响事故所处横断面的实际通行能力。如表5.3所示：
注：事故位置一：两辆发生事故的车占据左车道、中车道；事故位置二：两辆发生事故的车占据中车道，右车道。1：驶来的车辆有需要换位的；0：驶来的车辆都不需要换位。
（6-3）
10
基于以上分析我们得出这样一个结论：事故所处横断面实际通行能力与三个因素有关：
1）正常情况下各个车道车辆比例（道路上行驶的汽车到下游路口时的转向比例即为 所求）；
2）一个信号灯周期内存在的被迫换向持续时间（视频一的交通事故造成一个信号灯周 期内存在换向的时间为30秒，视频二的交通事故造成一个信号灯周期内存在换向的 时间为60秒）；
3）交通事故发生地上游车流量。
决定事故所处横断面的实际通行能力的影响因素如下图所示：
图6.6 交通拥挤时（即前后两个相位的车辆拥挤在一起）道路的通行能力仅仅与正常情况下各个车道车辆比例相关；
交通不拥挤时（即一个交通信号灯相位时间内驶向事故发生地的车不会因为上个相位车的滞留而排队）道路的通行能力与正常情况下各个车道车辆比例、一个信号灯周期内的车辆被迫换向持续时间、交通事故发生地上游车流量 这三个因素都有关系。
问题二要求我们分析所占车道不同对横断面实际通行能力影响的差异，交通拥挤时这种差异是体现不出来的，我们仅仅考虑交通不拥挤时两者的差异。如若不考虑各个车道车辆比例、交通事故发生地上游车流量对事故所处横断面通行能力的影响，那么同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面通行能力影响的差异体现在：交通事故占据不同车道，一个信号灯周期内车辆换向时间不同。
视频一中两辆汽车占据左车道和中车道，在一个信号灯周期内车辆被迫换向持续时间为30秒；视频二中两辆汽车占据中车道和右车道，在一个信号灯周期内车辆被迫换
11 向持续时间为60秒。据此可以估计出在不拥挤的情况下：视频一中横断面的实际通行能力比视频二中横断面的实际通行能力强。在拥挤的情况下两者的通行能力仅与正常情况下各个车道车辆比例相关。
6.4 事故占据不同车道的影响差异
为了检验以上假设的正确性，以时间为x 轴，视频一中事故横断面实际通行能力为y 1，视频二中事故横断面实际通行能力为y 2。做出y 1，y 2关于x 的散点图。比较二者通行能力的差异。
图6.7 所占车道不同对道路通行能力影响的差异 从上图中我们看到：
在事故发生点附近发生拥挤时，视频二中横断面的实际通行能力比视频一中横断面的实际通行能力强。视频一二中交通发生拥挤的这段时间在一天中所处的位置不同。视频一中事故的持续时间为：16：42：32~17：01：07；视频二中事故持续的时间为：17：34:17~18:03:30。视频二中交通发生拥挤的时间更接近于下班时间。因此我们可以认为视频二中上游车流量较视频一大。
在事故发生点附近不发生拥挤时，视频一中横断面的实际通行能力并没有比视频二中横断面的实际通行能力强。在这个过程中我们假定视频一、二中上游车流量相同，仅考虑、正常情况下各个车道车辆比例对两个视频中横断面的实际通行能力的影响。从该路段往下游行驶车辆的转向流量比例可以看出，左转流量比例比右转流量比例多。从这个角度来看，视频一中事故车辆所占车道对该路口通行能力的影响较大。其实这与6.3中的得到的结论并不是完全相违背的，只能说在题中正常情况下各个车道车辆比例对横断面通行能力的影响较车辆被迫换向持续时间对横断面通行能力的影响大些。
12 七、模型三的建立与求解
7.1 模型准备
7.1.1 交通波理论
在遇到有交通事故的道路上，往往会出现交通瓶颈。此时分析道路的通行能力时往往采用交通波理论。
图7.1 交通波示意图 如上图所示：
假设道路上有两个相邻的不同交通流密度区域(1k 和2k ) ，用垂直线S 分割这两种密度，称S 为波阵面。设S 的速度为w ，并规定交通流沿x 轴正方向运行。显然，由交通流量守恒可知，在时间t 内通过界面S 的车辆数可以表示为： t k u t k u N r r 2211==
即： 2211) () (k w u k w u -=- 上式中相应量的含义为：
1u ：A 区的车辆的平均速度；
2u ：B 区的车辆的平均速度；
111) (k w u u r -=：在A 区相对于垂直分界线S 的车辆的速度；
222) (k w u u r -=：在B 区相对于垂直分界线万的车辆的速度
整理可得：
) (121122k k w k u k u -=-
由流量模型ku q =可知： 111u k q = , 222u k q =.
式7-2代入上式中得到： 1
212k k q q w --=
2q :B 区交通流量； 1q ： A 区交通流量；
2k ：B 区交通流密度；1k ：A 区交通流密度.
当道路发生交通事故产生瓶颈时，012<-q q 且k2-k1>0012>-k k ，此时ω< 0，意味着交通波向后传播，交通流从高流量、低密度、较高速度进入低流量、高密度、较低速度状态，所以上游交通流状态受到影响而变差，即较差的交通流状态向上游扩展。 7.12 路段排队对上游的影响：
以视频1中事故发生路段AB 对其上游交叉口的影响为例进行说明，事故发生点C 离 (7-1 ) (7-2) （7-3）
（7-4）
（7-5）
13 交叉口的距离为0L , 事故发生前该路段上的交通流量为q , 事故地段的通行能力为c , 当
c q >时, 车辆在事故点C 点开始排队, 在交通事故持续时间了里产生的车辆排队长度为L 。若L> L0, 说明车辆排队延伸到交叉口A(上游), 严重地影响道路通行。
7.2 模型的建立与求解
根据视频一中交通流情况，考虑到车流的速度和密度的关系，我们以格林希尔茨(Greenshields)模型为基础并加以改进。本文的速度—密度模型采用格林希尔茨模型, 根据格林希尔茨的车流速度—密度线形关系：
) 1(j
f k k u u -= 上式中：
u ：车速(km/h);
f u ：自由流车速(km/h);
k ：密度(veh / km );
j k ：堵塞密度(veh /km)
) 1(j f k k ku q -= 将式7-6和式7-7代入到交通波理论式7-5中可到交通波的另一种形式:
) 1(21j
f k k k u w +-= 当发生事故造成路段封闭断流，车流就从高速低密度状态变成零速度高密度状态，即停车状态，形成集结波，这种集结波也可称为停车波，停车波沿停车队列的尾部向上游延伸的速度就是停车波的波速stop w 。根据交通波理论中波速的基本公式，代入到式7-8中，容易得到事故地点前停车波的波速为:
(1) stop f j w u k k =-
代入上式(7)可得停车波的波速为:
) /(k k q w j stop --=
stop w ：为停车的波速;
q :为事故点上游车流的车流量(veh/h);
（7-6） （7-7）
（7-8）
14 k :为事故点上游车流的车流密度(veh/h);
j k :为车流停车排队的密度即阻塞密度(veh /km);
在交通事故持续时间T 内, 交通流波阵面S 向上游移动的距离为|ω|T,若该长度小于事故地点至上游交叉口的距离, 则排队长度为|ω|T;若大于事故地点至上游交叉口的距离, 则交叉口向后传播的交通波为停车波, 在交通事故期T 内, 停车波向上游移动的距离为|ω
stop |T,停下来的车辆数为,N T =|ωstop |Tk j
因为k <k j, 所以不难看出，N T =q T/(1-k/kj); 事故地点上游来的车流的车速越低, 密度越接近阻塞密度k j
, 此时排队车辆N T =|ωstop |Tk j 排队长度的计算：在交通事故持续时间T 内，交通波的速度:
12(1) f j
k k w u k +=- 其中：
u f ：设计时速
k1：事故段的交通密度，有可以得到交通管理系统
kj: 交通阻塞密度，有交通管理系统得到
在此时间内，车辆的排队长度为|ω|T的大小与交通事故点距上游的长度L 0比较，其中长度L 0可以通过交通管理系统得到。
若|ω|T<L 0, 则时间T 内的排队长度为|ω|T；
若|ω|T>L 0, 则说明在T 时间内，车辆排队到上游交叉口，即发生整个上游十字路口发生排队的现象，计算出排至交叉口的时间t ，则在剩余时间为（T-t ）内，交通波向各个路口延伸开去，波速为各个路口的停止波速ωstop =-q /(k j -k ) 由道路的基本资料可得，向各个方向的排队长度为：(T-t) |ωstop |
由此可得：在时间T 内的排队长度：
L=0T, ; (Tt) , stop w L w ⎧⎪⎨+-⎪⎩车辆排队长度未达到上游口时车辆排队长度达到上游交叉口;
其中：
t 为计算出排至交叉口的时间，12(1) f j
k k w ku k +=-, () stop j w q k k =-- 代入整理可得：
L=120(1) , (Tt) , f j j k k ku T k q L k k ⎧+-⎪⎪⎨⎪+-⎪-⎩
车辆排队长度未达到上游口时; 车辆排队长度达到上游交叉口;
八、问题四的分析与求解
基于模型三的建立，对于问题四，问题中已知其车辆长度等于其距上游路口的长度
15 X=140m，路段下游方向需求不变，路段上游的车流量为1500pcu/h,且此时排队长度为零。有视频一（附件）分析得到的基本数据:
u f 为其自由车速，即在事故为发生时的车辆自由穿梭的平均速度，计算方法，即在绿灯期间，车辆从上游交叉口出发时间t1到达事故发生点时刻t2（t1,t2均有由视频中显示的时间读出）所得平均时间差t 。从而由位移-时间公式得到u f 的取值为36km/h。
q2 其为上游的车流量，此时q2=1500pcu/h,
q1其为下游的车流量，根据视频一（附件）我们统计了发生事故后不同时段的多组下游车流量取平均值（具体统计数值看附录二）得到q1=1130pcu/h。
k1其为下游的车行密度，根据视频一（附件）我们统计了发生事故后不同时间点的以120m 为界面长度统计下游车流量取平均值（具体统计数值看附录二）
k2其为上游的车行密度，根据根据视频一（附件）我们统计了发生事故后上游车辆的平均速度u, （具体统计数值看附录二），流量模型q=ku得,u=q2/k2;由模型三的排队长度与时间关系结论，又已知其恰好满足到达交叉口处，则将其代入
L=错误！未找到引用源。
中的第一种情况，即车辆排队长度到达或小于上游口距离时
对应的公式。
解得：T=0.0853 h 约为307s
九、模型的优缺点
9.1模型优点
（1）对数据进行合理的分析处理，采用多次拟合的方法对数据间的关系进行图像化，使其问题分析更加具有说服力。
（2）多次统计某时间段内通过的车辆数，来求均值减少了数据间的误差。
（3）根据MATLAB 软件画图，操作简单，图形可以充分反映数据间的关系。
（4）利用交通波理论，将问题三简化，充分利用了数据信息。
（5）本文所建模型具有比较广泛的应用价值，可以应用到其他领域的研究。
9.2模型缺点
（1）所提供的视频有跳动，得到的数据会存在不连贯的现象。有所跳动，数据存在微 小误差。
（2）由于数据是从视频中人为地得到的，因此所得到的数据的准确性受主观因素影响 较大。
（3）在比较同一横断面交通事故所占车道不同对横断面实际通行能力影响的差异进行 分析比较时忽略了事故发生时间对通行能力的影响。
十、模型的评价
本文中我们构建的模型是在交通波模型的基础上, 基于格林希尔治模型推导出来的。因其形式简单，便于计算，据此简化了模型，因而会得到广泛的应用。在模型计算上，我们如果能够采集足够更为准确的数据，可以得到更为具体的模型变化规律，结果会更有通用性。我们从分析格林希尔治模型的适用条件可知, 模型在通常的交通流密度下与实际交通流状况相符, 在交通流密度很大或在密度很小时该模型与实际情况有一定
16 偏差。这些都是我们进一步改进模型的方向。
十一、模型推广
本文作为一个典型的车道占用对道路交通影响的模型，其模型建立，包括排队论，数据处理等思想。正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将在交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等，有着巨大的推广价值
十二、参考文献
[1] 姜启源 谢金星 叶俊，数学模型（第四版) ，北京:高等教育出版社，2011.1.
[2] 纪英 高超，道路堵塞时排队长度和排队持续时间计算方法，交通信息与安全，第
149期27卷，41-43，2009年增刊1.
[3] 王进 白玉 杨晓光，道路堵塞时排队长度和排队持续时间计算方法，同济大学学报 （自然科学版），第11期40卷，37-39，2012.11.
[4] 李志林 欧宜贵，数学建模及典型案例分析，北京:工学工业出版社， 2006.12.
[5] 韩中庚，数学建模竞赛：获奖论文精选与点评，北京:科学出版社， 2007.1
17
1附录:
视频一事故所处横断面世纪通行能力随时间变化的统计结果：
时间
公交车数
通过事故发生地的总车数 （一辆公交车转化为两辆计入）
16:42:32——16:43:00 2 10 16:43:00——1643:30 2 11 16:43:30——16:44:00 0 10 16:44:00——16:44:30 0 8 16:44:30——16:45:00 0 9 16:45:00——16:45:30 0 7 16:45:30——16:46:00 0 8 16:46:00——16:4630 1 9 16:46:30——16:47:00 0 9 16:47:00——16:47:30 0 6 16:47:30——16:48:00 1 10 16:48:00——16:48:30 0 11 16:48:30——16:49:00 0 10 16:49:00——16:49:30 0 8 16:49:30——16:50:00 0 10 16:50:00:—16:50:30 1 10 16:50:30——16:51:00 0 8 16:51:00——16:51;30 0 10 16:51:30——16:52:00 1 10 16:52:00——15:52:30 1 8 16:52:30——16:53:00 1 8 16:53:00——16:53:30 0
8
视频二统计结果：
时间
公交车数
通过事故发生横截面的车辆数（一
辆公交车按两辆计入）
17:34:17——17:34:30 0 3 17:34:30——17:35:00 1 11 17:35:00——17:35:30 1 14 17:35:30——17:36:00
2 15 17:36:00——17:36:30 0 8 17:36:30——17:37:00 1 10 17:37:00——17:37:30 0 12 17:37:30——17:38:00 3 14 17:38:00——17:38:30 0 10 17:38:30——17:39:00 1 13 17:39:00——17:39:30 1 8 17:39:30——17:40:00 2 14 17:40:00——17:40:30 0 7 17:40:30——17:41:00 2 15 17:41:00——17:41:30 0 9 17:41:30——17:42:00 1 15 17:42:00——17:42:30 0 12 17:42:30——17:43:00 1 12 17:43:00——17:43:30 1 12 17:43:30——17:44:00 1 13 17:44:00——17:44:30 0 5 17:44:30——17:45:00 1 12 17:45:00——17:45:30 0 8 17:45:30——17:46:00 0 11 17:46:00——17:46:30 1 11 17:46:30——17:47:00 1 11 17:47:00——17:47:30 0
3
18
17:47:30——17:48:00 3 10 17:48:00——17:48:30 1 11 17:48:30——17:49:00 1 14 17:49:00——17:49:30 0 10 17:49:30——17:50:00 1 10 17:50:00——17:50:30 0 12 17:50:30——17:51:00 0 13 17:51:00——17:51:30 0 10 17:51:30——17:52:00 1 10 17:52:00——17:52:30 1 10 17:52:30——17:53:00 0 11 17:53:00——17:53:30 1 9 17:53:30——17:54:00 1 10 17:54:00——17:54:30 1 13 17:54:30——17:55:00 0 9 17:55:00——17:55:30 2 10 17:55:30——17:56:00 0
12
上游车流量统计 单位：辆/h
车流量统计 单位：辆
/h
16:45:00——16:46:00 960 16:46:00——16:47:00 780 16:47:00——16:48:30 1260 16:48:30——16:49:00 1140 16:49:00——16:50:00 1020 16:50:00——16:51:00 1260 16:51:00——16:52:00 1620 16:52:00——16:53:00 1140 16:53:00——16:54:00 1380 16:54:00——16:55:00
1020
下游车流量 单位：辆
/h
16:45:00——16:46:00 900 16:46:00——16:47:00 1080 16:47:00——16:48:30 960 16:48:30——16:49:00 1260 16:49:00——16:50:00 1080 16:50:00——16:51:00 1080 16:51:00——16:52:00 1200 16:52:00——16:53:00
960
上游密度 单位：辆
/km
16:45:00——16:46:00 41.1 16:46:00——16:47:00 39.0 16:47:00——16:48:30 40.6 16:48:30——16:49:00
43.2
19
16:51:00——16:52:00 38.75 16:52:00——16:53:00 43.2 16:53:00——16:54:00 36.0 16:54:00——16:55:00
41.8
下游密度 单位：辆/km
16:45:00——16:46:00 10.4 16:46:00——16:47:00 12.5 16:47:00——16:48:30 11.1 16:48:30——16:49:00 14.6 16:49:00——
16:50:00 12.5